Utforsking av matematikkens verden gjennom problemløsning

Utforskertrang

Det å være nysgjerrig er en god egenskap innenfor matematikkens verden. Nysgjerrighet skaper en trang til å utforske, finne gjemte «skatter» og finne ut av ting. Jeg tenker at lærere bør strebe mot å skape en nysgjerrighet hos elevene, slik at får en utforskertrang de kan få utløp for i både skolen og omverdenen. Gjennom de erfaringene jeg har gjort meg som både elev og praksisstudent, har jeg dessverre et inntrykk av at mange elever ikke opplever at nysgjerrigheten deres blir hørt i matematikkundervisningen. Skolehverdagen kan fort bli preget av læreplanmål man må rekke og oppgavebøker man må fullføre. Jeg har derfor utviklet et undervisningsopplegg som jeg håper kan tilfredsstille utforskertrangen til elevene. Dette undervisningsopplegget er basert på forskning innen matematikkforståelse, problemløsning og klasseromsdiskusjoner.

Ulike typer forståelse og kunnskap

Innenfor matematikken skiller man ofte mellom instrumentell og relasjonell forståelse. Ut fra Richard R. Skemp (1976) handler instrumentell forståelse om å forstå hvilke prosedyrer/algoritmer man skal bruke for å løse en oppgave. Med en relasjonell forståelse forstår man derimot både hva man skal gjøre og hvorfor man skal gjøre det. Skemp (1976, s. 8) trekker frem fordeler med de to ulike forståelsene, og fant tre fordeler med instrumentell forståelse:

• I sin egen kontekst er instrumentell matematikk ofte lettere å forstå. Regler og algoritmer som er vanskelige å forstå (og muligens forklare) er enkle å gjennomføre, og derfor blir matematikken i den instrumentelle konteksten lettere å forstå. Et eksempel er regelen for divisjon med brøk; Snu den bakerste brøken og bytt ut divisjonstegnet med multiplikasjonstegn, og regn ut. Denne regelen gjør at regneoperasjonen for divisjon med brøk ikke er spesielt vanskelig i seg selv.
• Belønningen kommer umiddelbart og er tydeligere. Å få svaret umiddelbart og kan være motiverende. Følelsen av å mestre en oppgave vil da muligens overdøve viktigheten av å forstå hvorfor.
• Man kommer frem til riktig svar fortere og svarene kan være mer pålitelige gjennom instrumentell tenking kontra relasjonell.

Skemp (1976, s. 8-9) har selvsagt også funnet fordeler med relasjonell forståelse:

• Relasjonell forståelse kan lettere tilpasses til nye oppgaver.
• Relasjonell forståelse er enklere å huske. Selv om det er vanskeligere å lære seg, vil man gjennom relasjonell forståelse se sammenhengen mellom ulike aspekter i matematikken. Det at man ser sammenhengen vil dermed bidra til at man enklere husker det man har lært, nettopp fordi man har en forståelse av hvorfor det fungerer.
• Relasjonell forståelse kan være effektivt som et mål i seg selv. Dersom eleven streber etter å forstå hvorfor, vil det selvsagt være motiverende når man endelig forstår hvorfor.
• Relasjonell forståelse kan ses på som en organisme som vokser av seg selv: Dersom man føler seg tilfreds gjennom relasjonell forståelse vil man muligens både forsøke å forstå andre ting relasjonelt og aktivt søke nytt materiale og nye områder som man kan undersøke. Man kan se på relasjonell forståelse som en snøball; Det startet med bare ett snøfnugg med uendelig potensiale (og lyst?) til å vokse.
  

Jeg har inntrykk av at det skapes et helt tydelig skille med relasjonell forståelse på den ene siden og instrumentell på den andre, uten noen bro mellom. Det er en velkjent diskusjon hvorvidt man som lærer bør strebe etter å skape relasjonell eller instrumentell forståelse. Mange mener mye, men til syvende og sist er det opp til den enkelte lærer å ta et standpunkt. Jeg tenker at den ene ikke utelukker den andre. Det er viktig å strebe etter å skape relasjonell forståelse fordi elevene lærer utrolig mye av å forstå hvorfor matematiske aspekter er sånn eller slik. De vil enklere kunne se sammenhenger og de blir forhåpentligvis mer nysgjerrige. Samtidig er det en verdi i seg selv å lære algoritmer og prosedyrer, selv om man kanskje ikke forstår hvorfor de fungerer. Gjennom hele grunnskolen og videregående hadde jeg ren instrumentell forståelse av regelen for å dividere to brøker. Jeg lærte ikke før jeg begynte på universitetet hvorfor det fungerer. Jeg har likevel hatt nytte av å kunne regelen.
 
James Hiebert og Patricia Lefevre (1986) skriver om to ulike typer kunnskaper man kan erverve: Konseptuell og prosedural kunnskap. Det finnes klare likhetstrekk mellom disse og relasjonell/instrumentell forståelse. Konseptuell kunnskap kjennetegnes av kunnskap som er rik på sammenhenger, imens prosedural kunnskap handler om det formelle matematiske språket og algoritmene man benytter seg av for å gjøre oppgaver. Konseptuell kunnskap kan sammenlignes med relasjonell forståelse, slik som prosedural kunnskap kan knyttes mot instrumentell forståelse. Hiebert og Lefevre snakker om et forhold mellom disse to kunnskapsformene og knytter sammenhenger mellom dem. Carolyn Kieran (2013, s. 157) drøfter Hiebert og Lefevres definisjon av begrepene og finner det vanskelig å se denne sammenhengen gjennom deres definisjoner. Hun trekker derfor frem andre teoretikeres utsagn om konseptuell og prosedural kunnskap for vise nettopp den sammenhengen Hiebert og Lefevre omtaler. Hun trekker blant annet frem Carpenter som sa at man må ha en rik konseptuell kunnskapsbase for å kunne skape mening av prosedyrer. Ut fra dette utsagnet trenger man altså begge deler. Jeg synes relasjonell/konseptuell forståelse er en «bedre» type forståelse å ha, og ønsker å arbeide mot det hos mine fremtidige elever, men jeg tenker ikke å avskrive instrumentell/prosedural forståelse av den grunn. Ja takk, begge deler!

Problemløsning og åpne oppgaver 

Det finnes mange ulike definisjoner på hva problemløsning er. Lesh og Zawojewski (2007, s. 782) har utviklet et forslag til hvordan å definere problemløsning. Ut fra deres definisjon blir en oppgave/aktivitet til et problem når den krever at problemløseren utvikler en mer produktiv tankegang rundt den gitte situasjonen. Å utvikle en mer produktiv tankegang handler om at problemløseren må engasjere seg i en prosess for å tolke situasjonen. Problemløseren må altså modellere problemet og på den måten matematisere virkeligheten. Jeg synes denne definisjonen gir et fint bilde av hva som skal foregå i hodet til problemløseren når man takler problemløsningsoppgaven, men den sier ikke så mye om hva selve oppgaven bør bestå av. Jeg ønsker derfor å tilføye noen kjennetegn jeg anser som typiske for problemløsningsoppgaver:

• Det finnes ofte mer enn én løsning på problemet.
• Det dukker ofte opp flere spørsmål underveis i prosessen.
• Det finnes mange ulike måter å løse oppgaven på.

Oppgaver som har kjennetegn som de nevnt over, anser jeg som såkalte «åpne oppgaver». Jeg tenker at åpne oppgaver er formulert slik at de ikke umiddelbart gir deg en pekepinn på hvordan du skal gå frem, og dermed krever at den som skal løse oppgaven må finne en fremgangsmåte på egenhånd. Dette gir også rom for kreativ tankegang siden det finnes flere ulike løsninger.
Rike oppgaver er en av oppgavetypene Utdanningsdirektoratet redegjør for i en artikkel fra 2015. Det jeg definerer som åpne oppgaver kan sammenlignes med deres definisjon av rike oppgaver. I figur 1 kan du se hva de skriver om rike oppgaver. 

Figur 1: Utdanningsdirektoratet, 2015, s. 2

Undervisningsopplegget jeg har utarbeidet baserer seg på en oppgave av typen rik/åpen. Som Utdanningsdirektoratet skriver kan slike oppgaver gi elevene erfaring med problemløsing, og det er nettopp det jeg ønsker med denne oppgaven. Jeg tror slike oppgaver kan bidra til relasjonell/konseptuell kunnskap og en bredere forståelse. Oppgaven jeg har utformet tar for seg mange aspekter innenfor matematikken, og håpet er at dette vil få elevene til å se sammenhenger.

Lesh og Zawojewski (2007) trekker frem George Pólya i sitt kapittel om problemløsning. Han utviklet Pólya-style som er en strategi for hvordan å løse problemløsningsoppgaver. Hans strategi består av fire steg (Pólya, 1957, s. 5-6):

1.       Forstå problemet

2.       Lag en plan

3.       Gjennomfør planen

4.       Se tilbake

Denne videoen forteller litt mer om hva hvert steg innebærer:

(Gomez, 2017)

Undervisningsopplegg: Hastigheten på stigende vannhøyde

Undervisningsopplegget jeg har laget tar utgangspunkt i en åpen/rik problemløsningsoppgave med rom for flerfoldige deloppgaver. Oppgaven kan dermed tilpasses den enkelte elev og elevgruppe ettersom læreren kan tilføye spørsmål som skaper mer/mindre utfordring. Undervisningsopplegget er tiltenkt elever på 10. trinn. Med litt modifikasjoner vil undervisningsopplegget også kunne passe på lavere trinn. Dette opplegget kan knyttes mot flere temaer innenfor læreplanen i matematikk, men i figur 2 kan du se hvilke læreplanmål jeg har tatt utgangspunkt i. De som er uthevet er de jeg ser på som overordnet for hele undervisningsopplegget. De resterende er læreplanmål elevene kan komme til å arbeide med. 

Figur 2: Læreplanmål etter 10. trinn (Utdanningsdirektoratet, 2013, s. 9)

For å skape best mulig forutsetning for læring tenker jeg at opplegget bør gjennomføres over flere økter, eller på en eventuell fagdag hvor man har mange timer til rådighet. Gjennom å bruke mye tid på opplegget vil elevene kunne oppdage ulike metoder og sammenhenger, og forhåpentligvis få et større læringsutbytte. Elevene skal arbeide i par eller små grupper. Den største delen av undervisningsopplegget vil være å la elevene arbeide med selve oppgaven. Deretter må det settes av tid på slutten til felles samtale om oppgaven. Denne samtalen skal gjennomføres i tråd med det Elham Kazemi og Allison Hintz (2014, s. 18) kaller «Open Strategy Sharing». Open Strategy Sharing er en type klasseromsdiskusjon hvor elevene skal dele ulike måter å løse samme problem. Diskusjonen foregår på en slik måte at læreren stiller spørsmål underveis til elevene som gjør at de forstår hverandre sine fremgangsmåter. Det finnes ulike «talk moves» som både elevene og læren kan benytte seg av i en slik type diskusjon. Her er en oversikt over Kazemi og Hintz’ talk moves:

Figur 3: Talk moves (Kazemi & Hintz, 2014, s. 21)







Figur 4: Eksempel på ulike beholdere (egenprodusert)

Oppgaven går ut på at elevene skal finne ut hvor raskt vannhøyden stiger i ulike typer beholdere. Læreren har med seg både bilder av ulike typer beholdere samt fysiske beholdere som elevene kan fylle med vann. Bildene læreren har med må ha informasjon om de ulike målene på beholderen som elevene trenger for å løse oppgaven (for eksempel høyde, omkrets, radius, bredde). Hvor mange beholdere man ønsker å ta med vil være en vurderingssak læreren tar, men det vil være hensiktsmessig å benytte seg av beholdere som er varierte. Variasjon kan skapes gjennom både ulike størrelser og ulike geometriske grunnflater. Eksempler på beholdere vil være kolbe, reagensrør, kopper, glass, flasker og så videre. Valg av beholdere vil spille en stor rolle for hvor utfordrende oppgaven er å gjennomføre. Å måle hastigheten på den stigende vannhøyden til en sylinderformet drikkeflaske vil være mindre utfordrende enn å gjøre tilsvarende med et vannglass hvor radiusen blir gradvis større fra bunn til topp.



Det finnes mange måter å angripe dette problemet på. Noen elever ønsker kanskje å teste det ut fysisk først, andre starter med å beregne volum. Noen elever kan til slutt ende opp med en graf, andre med en tabell. Hvordan elevene går frem er opp til hver enkelt, og lærerens jobb er ikke å gi de en oppskrift på hva neste steg er, men heller å veilede de i tankeprosessen slik at de selv finner veien videre. Her tenker jeg at Pólya-style kan være et verktøy læreren benytter. Istedenfor å gi elevene en oversikt over Pólyas strategi for problemløsning, kan læreren heller komme med forslag slik som de Pólya legger frem i sin strategi. Forslagene fra læreren må ses i sammenheng med hvor elevene er i prosessen og hva slags veiledning de har behov for. Noen behøver kanskje lite veiledning, imens andre trenger mer, og da kan læreren stille Pólyas spørsmål for å guide de i riktig retning. På denne måten kan læreren benytte seg av Pólyas strategi som et kommunikasjonsverktøy for å veilede elevene.

 Avsluttende kommentar

Jeg har troen på at å la elevene utforske matematikkens verden gjennom rike problemløsningsoppgaver kan skape motivasjon og utforskertrang hos elevene. Problemløsningsoppgaver kan bidra til en relasjonell forståelse, men det er viktig at læreren benytter seg av de riktige verktøyene i sin veilederrolle i klasserommet. Det er derfor viktig at læreren er bevisst sine kommunikasjonsverktøy og at elevene også får tilgang til slike verktøy. Å gjennomføre slike åpne oppgaver kan være utfordrende for elevene dersom de ikke er vant til å arbeide problemløsende, men det sies at øvelse gjør mester. Det er lærerne som legger grunnlaget for hva slags oppgaver og metoder elevene er vant til å arbeide med, og da kan det være fint med variasjon i oppgaver i et mangfoldig klasserom.

 

Kandidatnummer: 4

 

Kilder

• Gomez, C. (2017, 12. oktober). Polya's 4-step problem solving process [Videoklipp]. Hentet 10/2018 fra https://www.youtube.com/watch?v=aMlVcGEn7EE
• Hiebert, J. & Lefevre, P. (1986). Conceptual and procedural knowledge in mathematics: An introcutory analysis. I Conceptual and prodecural knowledge: The case of mathematics (s. 1-27). Hiebert, J. Hillsdale, NJ: Erlbaum.
• Kazemi, E., & Hintz, A. (2014). Intentional talk: How to structure and lead productive mathematical discussions. Portland, Me: Stenhouse.
• Kieran, C. (2013). The false dichotomy in mathematics education between conceptual understanding and procedural skills: an example from Algebra. I Vital directions for mathematics education research (s. 153-171). Springer New York.
• Lesh, R., & Zawojewski, J. (2007). Problem solving and modeling. I F. K. J. Lester (Ed.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning. Charlotte
• Pólya, G. (1957). How to solve it: A new aspect of mathematical method (2nd ed., Penguin mathematics). London: Penguin Books.
• Skemp, R. R. (1976). Relational Understanding and Instrumental Understanding, Mathematics Teaching, 77, (20-26).
• Utdanningsdirektoratet. (2013). Læreplan i matematikk fellesfag (MAT1-04). Hentet 10/2018 fra https://www.udir.no/kl06/MAT1-04
• Utdanningsdirektoratet. (2015). Vær bevisst i valg av oppgaver. Hentet 10/2018 fra https://www.udir.no/Udir/PrintPageAsPdfService.ashx?pid=98254&epslanguage=no