Snu trekanten!

Matematikken kan for mange oppleves som et «huskefag» og et fag der pugging av regler og formler står i fokus (Herheim, 2016). Dette kan være med på å ta fokuset bort fra det som kan være morsomt og samtidig svært lærerikt med matematikk. For noen elever er det nødvendig å forstå hvordan og hvorfor noe er som det er, samtidig som man får muligheten til å arbeide med oppgaver og matematiske problemer som krever mer enn at man kan en bestemt formel.

Matematisk forståelse og kunnskap

Richard R. Skemp (1976) bruker to begrep for å skille mellom former for matematisk forståelse, og disse begrepene kaller har instrumentell forståelse og relasjonell forståelse. Han legger ikke skjul på at han mener det er den relasjonelle forståelsen som er den beste. Instrumentell forståelse beskrives som «rules without reasons» og ikke som en forståelse. Det er denne undervisningsformen mange lærere benytter seg av i undervisningen, og er den type forståelse det er enklest å lære bort til andre. Instrumentell forståelse går ut på at elevene lærer seg enkle regler og prosedyrer for hvordan de skal løse ulike oppgaver, og de lærer seg ulike matematiske formler for dette. Da lærer elevene seg hvordan de skal løse ulike matematiske problem (ibid.). Elevene blir ofte testet i nettopp denne type forståelse der oppgaver på prøver ikke krever mer enn at man husker bestemte regler. Hvis man som elev har en instrumentell forståelse kan man reglene i matematikk uten å ha en dypere forståelse for hvordan man kan bruke de.

Relasjonell forståelse derimot består av å forstå hvorfor man bruker de ulike reglene, og at man på den måten er i stand til å begrunne hvorfor en fremgangsmåte vil gi løsningen på et problem.

Hiebert & Lefevre bruker begrepene konseptuell kunnskap og prosedural kunnskap. Disse begrepsparene er like på noen områder med Skemp (1976) sine to begreper, men har også noen ulikheter. Konseptuell kunnskap er det som kan sammenlignes med relasjonell forståelse. Hiebert & Lefevre definerer dette som en forståelse av sammenhenger i matematikk og at ny kunnskap om matematiske fenomener fletter seg inn i et nettverk av forståelse. I følge Hiebert & Lefevre må man kunne trekke linjer mellom eksisterende kunnskap og ny informasjon for å kunne oppnå konseptuell kunnskap.

Prosedural kunnskap er på den andre siden. Det er den typen man kan sammenligne med instrumentell forståelse. Hiebert & Lefevre deler prosedural kunnskap i to, og disse delene er notasjon og algoritmer. Her handler notasjon om å ha kunnskap om bruken av symboler i matematikken, mens kunnskap om algoritmer handler om å kunne prosedyrer og oppskrifter for å løse matematiske problemer.

I motsetning til Skemp, holder ikke Hiebert & Lefevre seg til en av sidene, og hevder ikke at en av sidene er mer riktig enn den andre. De mener at en sammenkobling mellom konseptuell kunnskap og prosedural kunnskap vil kunne øke nytten av den prosedurale kunnskapen. Begge er nødvendige for å kunne ha en fullverdig matematisk kompetanse. Dette betyr at prosedyrer og algoritmer blir mer effektive hvis man har en dypere forståelse for hvorfor de fungerer.

Undersøkende matematikkundervisning

I Norge er ofte undervisningen tradisjonell og styrt av læreboken, der læreren introduserer tema for timen. Læreren viser ulike eksempler på tavlen og ber deretter elevene om å løse oppgavene som står i boken (Alseth, Breiteg, & Brekke, 2003). Det legges stor vekt på å vise hvordan man kommer fram til det riktige svaret, og oppgavene elevene jobber med er ofte like i strukturen. Man vier mindre oppmerksomhet til å se sammenhenger og å vite hvorfor man gjør som man gjør.

Det er gjort mye forskning på undersøkende matematikkundervisning, både i Norge og i utlandet. Det finnes forskjellige varianter av undersøkende matematikkundervisning, og det blir brukt på forskjellige måter (Wæge & Nosrati, 2015). En undersøkende matematikkundervisning skiller seg fra den tradisjonelle undervisningen ved at man ofte følger en tredelt struktur. I begynnelsen av timen presenterer læreren en ny og kognitiv krevende oppgave eller aktivitet for elevene. Deretter gir læreren elevene god til å jobbe med denne aktiviteten, samtidig som man observerer arbeidet og kan oppmuntre dem til å finne nye løsninger. Man kan også be elevene om å beskrive hvordan de tenker. Læreren avslutter timen med at hele klassen diskuterer aktiviteten og de ulike løsningsforslagene som har kommet fram. I den siste delen har læreren en viktig jobb med å lede samtalen på en slik måte at man gjør elevene oppmerksomme på hvordan de ulike løsningene henger sammen. Elevene må kunne bruke prosedyrene, men også utvikle en forståelse for det som har blitt gjort (ibid.).

Samtalegrep

Hintz & Kazemi (2014) har laget noen samtalegrep de har valgt å kalle «talk moves». Disse samtalegrepene er et verktøy de har laget som kan være til hjelp for læreren når man skal lede og strukturere gode matematiske diskusjoner i klasserommet. Samtalegrepene er «reapeating» (gjenta), «Turn-and-talk» (snakk med sidemann), «Reasoning» (argumentere), «Adding on» (legge til), «Revise» (revurdere) og «Revoicing» (forklare med egne ord).

I en undervisningstime kan man få bruk for alle samtalegrepene til ulike tidspunkt. Gjenta og snakk med sidemann er fine samtalegrep å bruke sammen for å få elevene til å gjenta oppgaven med egne ord, og man kan på denne måten enkelt vite om elevene har forstått hva de skal gjøre. Disse samtalegrepene kan brukes i starten av undervisningsopplegget under, og elevene kan gjenta oppgaven for hverandre og sammen komme fram til hva som eventuelt er uklart. Det vil kunne være enklere for elevene å stille spørsmål hvis det er noe de lurer på når de vet at flere er usikre på det samme (Hintz & Kazemi, 2014).

Læreren kan bruke samtalegrepene argumentere og legge til når han går rundt å observere samtalene elevene har når de skal løse de ulike oppgavene. Å argumentere betyr at elevene må tenke over om de er enige eller uenige i det som blir sagt av de andre elevene, samtidig som de må begrunne hvorfor. Samtalegrepet å legge til gir rom for at elevene kan tilføye noe til hverandres forklaringer og løsningsforslag. På denne måten vil læreren kunne få innsikt i de ulike forklaringene og svarene elevene kommer med, og vil på denne måten kunne velge ut hva som skal presenteres høyt i klassen underveis og til slutt (Hintz & Kazemi, 2014).

Samtalegrepene revurdere, forklare med egne ord og argumentere kan fungere som god hjelp for læreren når man skal lede den matematiske samtalen. Dette er fordi at man gir rom for at elevene kan forandre på svarene og forklaringene sine. Når elevene må forklare noe med egne ord, betyr dette at elevene skal gjenta det andre har sagt slik de har forstått dem, og at de sammen kommer fram til en forståelse (Hintz & Kazemi, 2014).

Undervisningsopplegg

I forkant av undervisningen bør man som lærer tenke over hva man ønsker at elevene skal lære og hva som faktisk er målet for timen. Undervisningsopplegget under legger opp til at elevene må prate sammen og i felleskap utforske hvordan de skal løse de ulike oppgavene. Læreren får en viktig jobb underveis i arbeidet, og kan benytte seg av flere samtalegrep underveis for å få fram den gode matematiske samtalen.

Undervisningsopplegget er ment for elever fra 5.-7- trinn, der elevene arbeider i grupper på tre personer slik at alle får muligheten til å delta. Elevene får utdelt én oppgave om gangen slik at man som lærer får muligheten til å høre på samtalene elevene har.

Snu trekanten!

Utstyr som er nødvendig for denne aktiviteten er brikker, skrivesaker og kladdebok.

            1.     Legg tre brikker i en trekant som på Figur 1.
            Trekanten kan snus så det ene hjørnet kommer under
            «grunnlinjen» ved å kun flytte én brikke.
            Figuren du nå har ser ut som Figur 2.

     Aktivitet:

 

        2.     Legg seks brikker i et mønster som danner en
        trekant som på Figur 3.
        Hva er det minste antall brikker du må flytte
        for at trekanten skal bli snudd slik som
        på Figur 4?

 .       3.     Bruk brikker for å lage større og større trekanter.
         Utforsk hvordan du kan flytte så få brikker som
         mulig for å snu trekanten.
         Skriv ned det du finner ut, og vis hvordan du flytter
         brikkene.

          4.     Kan du finne en formel for antall brikker som må flyttes
                                                               når størrelsen på trekanten er gitt?

Dette undervisningsopplegget kan være med på fremme elevenes relasjonelle forståelse der de må prøve seg fram, utforske og snakke sammen før de til slutt kommer fram til en felles 

forståelse av oppgaven. Samtalen mellom elevene kan krydres med at læreren ber elevene forklare hvordan de tenker til sine medelever, slik at de også forstår. En undersøkende matematikkundervisning vil også kunne legge opp til at elevene er nødt til å forstå det de arbeider med, og det er ikke bare svaret på oppgaven som er viktig. Veien mot et svar vil kunne være viktigere og mer lærerikt. Undervisningstimer som bygger på en tredelt struktur slik som undersøkende undervisning gjør, og at man benytter seg av gode samtalegrep som et verktøy for å få fram gode matematiske samtaler, vil kanskje være med på å fokusere på en relasjonell forståelse hos elevene. Dette vil kanskje være med på å gjøre matematikkundervisningen annerledes enn den tradisjonelle undervisningen som ofte finnes i dagens klasserom. 

Kilder

Alseth, B., Breiteg, T. & Brekke, G. (2003). Endringer og utvikling ved R97 som bakgrunn for videre planlegging og justering- matematikkfaget som kasus.
Notodden: Telemarksforskning Notodden.

Herheim, R. & Høines-Johansen, M. (2016). Matematikksamtaler. Undervisning og læring - analytiske perspektiv. Bergen: Caspar Forlag AS

Hiebert, J. & Lefevre, P. (1986). Conceptual and Procedural Knowledge in Mathematics: An

Introductory Analysis. I J. Hiebert (red.), Conceptual and Procedural Knowledge: The Case of Mathematics. Hillsdale, NJ, US: Lawrence Erlbaum Associates, Inc.

Hintz, A. & Kazemi, E. (2014). Intentional Talk- how to structure and lead productive mathematical discussions. Portland, Main: Stenhouse Publishers.

Skemp, R. R. (1976). Relational Understanding and Instrumental Understanding. Mathematics Teaching in the Middle School, 12 (2), s. 89-95.

Nosrati, M. & Wæge, K. (2015). Sentrale kjennetegn på god læring og undervisning i matematikk. Trondheim: Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen.