Dagens norske ungdomsskoleelever sliter klart mest i temaet algebra viser nylige TIMSS resultater. De klarer seg godt i emnene tall og statistikk, sliter noe mer med geometri, men sliter altså mest med algebra. Figuren under viser tydelige hvor stort sprik det er i skåren innenfor de forskjellige emnene (Bergem, 2016, s. 22-43). Dette er helt tydelig et problemområde i den norske skolen. Hva kan man gjøre for å øke elevers forståelse for algebra?
Figur 1 (Bergem, 2016, s. 41).
Disse TIMSS-resultatene støtter mine egne oppfatninger om algebra i skolen. Mine oppfatninger stammer både fra min egen skolegang, men også fra tiden på lærerskolen og i praksis. Det at norske elever gjør det klart dårligst i algebra kommer da ikke som en overraskelse. Når jeg tenker tilbake på min egen skolegang og minner med algebraundervisning så ser jeg for en hel 8. klasse som synkront ”huffer” i det læreren introduserer timen med at de skal ha algebra, og der all motivasjon forsvinner med ”huffet”. Dette gir et svært dårlig utgangspunkt for undervisningen.
For å bedre utgangspunktet for algebraundervisningen på ungdomsskolen foreslår jeg at man begynner med algebra tidligere i skoleløpet. Eller ikke algebra, men tidlig algebra. Jeg skal komme nærmere inn på hva de innebærer. Kanskje vil det gjøre at dette synkrone ”huffet” blant åttendeklassinger blir lavere og mindre synkront, og kanskje vil det også gi svar på det spørsmålet jeg innledet med.
For å bedre utgangspunktet for algebraundervisningen på ungdomsskolen foreslår jeg at man begynner med algebra tidligere i skoleløpet. Eller ikke algebra, men tidlig algebra. Jeg skal komme nærmere inn på hva de innebærer. Kanskje vil det gjøre at dette synkrone ”huffet” blant åttendeklassinger blir lavere og mindre synkront, og kanskje vil det også gi svar på det spørsmålet jeg innledet med.
Tidlig algebra
Early algebra, eller tidlig algebra, handler i stor grad om å introdusere elevene til algebraisk tenkning før den formelle algebraen introduseres. Algebraisk tenkning handler om å se og forklare mønstre i matematikken, uten å utrykke det som for eksempel en funksjon. Carraher og Schliemann (2009, s. 670) hevder at undervisning i tidlig algebra skjer på barneskolen, altså på elever som er 6-12 år gamle. De hevder altså at man kan begynne undervisning i tidlig algebra allerede i første klasse. Carraher og Schliemann (2009, s. 673) viser til forskning gjort på skoler og elever i Russland og Singapore der algebraiske ideer og teknikker blir introdusert tidligere enn normalt, og at dette ofte har gitt bedre resultater. Poenget med tidlig algebra er at elever allerede skal gjenkjenne algebraisk tenkning når de begynner med ukjente og variabler, altså det formelle algebraiske språket.
Carraher og Schliemann (2009) viser til tre ulike tilnærminger til tidlig algebra, disse er aritmetikk og numerisk resonnement , aritmetikk og kvantiteter og aritmetikk og funksjoner. I denne oppgaven skal jeg begrense meg til å se på den tilnærmingen som dreier seg om aritmetikk og funksjoner. Funksjoner har en viktig rolle i moderne matematikk og i emnet algebra. Innenfor denne tilnærmingen til tidlig algebra så er hovedpoenget å finne og gjenkjenne voksende eller synkende mønstre. Hovedpoenget her er ikke bare å finne disse endringene men å kunne generalisere endringen slik at man kan forutsi hvordan mønstre blir å se ut videre, som om man skulle laget et funksjonsutrykk for endringen. En typisk oppgave vil kunne se slik ut:
Figur 2 (Carraher og Schliemann, 2009, s. 689)
I denne oppgaven må elevene finne og gjenkjenne det stigende mønstret. Utgangspunktet er to kuber med klistremerke på hver synlige side av kuben. De blir spurt om hvor mange klistremerker man trenger for et ulikt antall kuber. Tilslutt blir det spurt ”hva er regelen”. For å svare på dette forutsetter det at elevene kan generalisere denne endringen. De må tenke algebraisk.
Algebra
Når en snakker om hvordan elever kan få en forståelse for algebra ved hjelp av tidlig algebra er det samtidig hensiktsmessig og knytte dette opp til hvordan elever lærer algebra. Kieran (2009) skriver om GTG-modellen der hun delte algebraiske aktiviteter i tre kategorier, disse er generaliserende, transformerende og resonnerende aktiviteter. I denne oppgaven blir jeg å ha fokus på den generaliserende aktiviteten. Den handler om representasjon av et problem og å gi uttrykk for generelle sammenhenger, for eksempel mønstre eller tallrekker. Her ser vi at den generaliserende aktiviteten i GTG-modellen presenter av Kieran (2009) kan knyttes opp mot tidlig algebra slik Carraher og Schliemann (2009) presenterer det.
Undervisningsopplegg
Jeg skal presentere et forslag på et undervisningsopplegg i tidlig algebra. Undervisningsopplegget vil være tilrettelagt for mellomtrinnselever, altså elever i 5.-7. trinn. Jeg tar utgangspunkt i dette kompetansemålet etter 7. årstrinn ”utforske og beskrive strukturar og forandringar i geometriske mønster og talmønster med figurar, ord og formlar” (Utdanningsdirektoratet, 2013). Målet for opplegget vil være å finne generelle løsninger for stigende geometriske mønstre.
Først vil elevene få en oppgave som de skal løse individuelt (Figur 3. Oppgave 1.). Oppgaven her vil først være å lage de to neste stegene i det geometriske mønsteret. Her kan de bruke digitale hjelpemidler, konkreter eller rett og slett tegne i skriveboka, alt etter hva man har tilgjengelig. Når de har lagd de to neste stegene vil oppgavene være å formulere den generelle løsningen for hvordan det geometriske mønsteret stiger.
Figur 3. Oppgave 1.
Etter elevene har fått tilstrekkelig tid til både å lage de to neste stegene og formulerer den generelle løsningen så vil vi ta opp dette i fellesskap. Her ville jeg valgt å bruke en strategi presentert av Hintz og Kazemi (2014, s. 18) som de har kalt for ”open strategy sharing”. Her skal elevene både lytte til hverandre og selv bidra til å løse den samme oppgaven eller det samme problemet. Det sentrale for læreren her er å spørre hvordan- og hvorfor-spørsmål, men det aller viktigste er å invitere elever inn i samtalen med spørsmålet ”hvem har gjort det på en annen måte?”. Her åpner man som lærer opp for at elever kan komme med sine ideer og sin måte å løse oppgaven på. Målet med en ”open strategy sharing” er å få fram de mulige måtene å løse en oppgave på, samt utvide elevenes ”strategibank”.
Etter man har brukt god tid og gått grundig gjennom den første oppgaven, og sørget for at alle forslag er kommet fra i plenum og at alle elevene forstår de ulike strategiene som er brukt, kan man gå videre. Nå har elevene blitt kjent med en oppgave med stigende mønster med firkanter, jeg mener det nå vil være hensiktsmessig at elever blir utsatt for oppgaver der man bruker andre geometriske figurer i mønstrene, dette både for variasjon sin del og at elevene kan overføre de strategiene de brukte på oppgaven med firkanter til andre oppgaver.
Etter man har brukt god tid og gått grundig gjennom den første oppgaven, og sørget for at alle forslag er kommet fra i plenum og at alle elevene forstår de ulike strategiene som er brukt, kan man gå videre. Nå har elevene blitt kjent med en oppgave med stigende mønster med firkanter, jeg mener det nå vil være hensiktsmessig at elever blir utsatt for oppgaver der man bruker andre geometriske figurer i mønstrene, dette både for variasjon sin del og at elevene kan overføre de strategiene de brukte på oppgaven med firkanter til andre oppgaver.
Figur 4. Oppgave 2a.
Figur 5. Oppgave 2b.
Oppgave 2a (figur 4) og 2b (figur 5) er to slike oppgaver. De er ganske lik oppgave 1, men med andre geometriske figurer. Siden elevene har fått jobbe individuelt med en slik oppgavetype tidligere skal de nå diskutere oppgaven i par før vi i plenum ser på disse to oppgavene med ”open strategy sharing”. Målet er det samme som i oppgave 1, finne den generelle løsningen for det geometriske mønsteret. Denne gangen er det ikke et krav om at de må tegne de neste stegene med mindre de ønsker.
Til nå har elevene møtt på oppgaver som er ”ganske enkle”. Med det mener jeg at det stigende mønsteret kun har en geometrisk figur og at de stiger med en eller to figurer. En naturlig progresjon i undervisningopplegget vil være å utfordre elevene med oppgaver som har flere geometriske figurer i mønsteret, og som stiger med mer en bare en og to.
Figur 6. Oppgave 3. (Carraher og Schliemann, 2009, s. 688).
Figur 7. Ulike oppgaver. (Lovin og Van de Walle, 2005, s.266).
Både oppgaven i figur 6 og oppgavene i figur 7 er slike type oppgaver, der elevene får utfordret seg mer med å finne generelle løsninger for det stigende mønsteret. I mitt undervisningsopplegg vil individuelt arbeid med slike type oppgaver vært avslutningen på timen, før man fanget opp tråden igjen neste time med å starte med disse oppgavene.
Oppsummering
Bakgrunn for undervisningsopplegget og oppgavene som er valgt/laget til undervisningen er både måten Carraher og Schliemann (2009) argumenter for hvordan man kan jobbe med tidlig algebra i skolen og den generaliserende aktiviteten i algebra som Kieran (2009) beskriver. Oppgavene er knyttet til algebra ved at elevene finner generelle løsninger for det stigende mønsteret i figuren. I en tidlig algebra-fase vil denne løsningen bli presentert med ord og tall. Ved arbeid med selve algebraen ville man utrykt den samme stigningen med et funksjonsuttrykk. Slik ser man hvordan elevene får innarbeidet en algebraisk tenkemåte før de blir presentert for det algebraiske språket.
Jeg har i denne oppgaven sett på hvordan man gjennom tidlig algebra kan øke elevers forståelse for algebra. Jeg har kun sett på arbeid med generelle løsninger av stigende geometriske mønstre i mitt undervisningsopplegg. Det finnes flere ulike måter å jobbe med tidlig algebra, og det finnes også tre ulike tilnærminger til tidlig algebra. Jeg trur at hvis lærere, da spesielt på mellomtrinnet, har fokus på tidlig algebraundervisning, så vil elevenes forståelse av algebra kunne øke. Det vil i alle fall gi elevene et bedre utgangspunkt til lære og forstå den formelle algebra, siden de da allerede vil være vant til algebraisk tenkning. Dette er tanker og ideer jeg som fremtidig lærer skal ta med meg i min yrkesutøvelse og som jeg håper andre matematikklærere vil klarer å se nytteverdien av.
Jeg har i denne oppgaven sett på hvordan man gjennom tidlig algebra kan øke elevers forståelse for algebra. Jeg har kun sett på arbeid med generelle løsninger av stigende geometriske mønstre i mitt undervisningsopplegg. Det finnes flere ulike måter å jobbe med tidlig algebra, og det finnes også tre ulike tilnærminger til tidlig algebra. Jeg trur at hvis lærere, da spesielt på mellomtrinnet, har fokus på tidlig algebraundervisning, så vil elevenes forståelse av algebra kunne øke. Det vil i alle fall gi elevene et bedre utgangspunkt til lære og forstå den formelle algebra, siden de da allerede vil være vant til algebraisk tenkning. Dette er tanker og ideer jeg som fremtidig lærer skal ta med meg i min yrkesutøvelse og som jeg håper andre matematikklærere vil klarer å se nytteverdien av.
Litteraturliste
Bergem, O., K. (2016). Hovedresultater i matematikk.I Trude Nilsen (red.). Vi kan lykkes i realfag – Resultater og analyser fra TIMSS 2015. Universitetsforlaget.
Carraher, D., W. og Schliemann, A., D. (2009). Early algebra and algebraic reasoning.I Lester F., K (red.). Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. Information Age Publishing.
Hintz, A. og Kazemi, E. (2014). Intentional talk.Stenhouse Publishers.
Kieran, C. (2009). Learning and teaching algebra at the middle school through college levels.I Lester F., K (red.). Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. Information Age Publishing.
Lovin, L., A., H. og Van de Walle, J., A. (2005). Teaching Student-Centered Mathematics: Grades 5-8. Pearson Education.
Utdanningsdirektoratet (2013). Læreplan i matematikk fellesfag – kompetansemål etter 7. årssteget. Hentet 10.10.18 fra https://www.udir.no/kl06/MAT1-04/Hele/Kompetansemaal/kompetansemal-etter-7.-arssteget
Figurer
Figur 1: Viser utviklingen av TIMSS-resultater per trendområde i Norge fra 2007-2015. I Bergem, O., K. (2016). Hovedresultater i matematikk.I Trude Nilsen (red.). Vi kan lykkes i realfag – Resultater og analyser fra TIMSS 2015. Universitetsforlaget.
Figur 2: ”Cube Sticker”-oppgave. I Carraher, D., W. og Schliemann, A., D. (2009). Early algrebra and algebraic reasoning.I Lester F., K (red.). Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. Information Age Publishing.
Figur 3: Oppgave 1 til undervisningsopplegg. Laget selv.
Figur 4: Oppgave 2a til undervisningsopplegg. Laget selv.
Figur 5: Oppgave 2b til undervisningsopplegg. Laget selv.
Figur 6: Oppgave 3 til udnervisningsopplegg. I Carraher, D., W. og Schliemann, A., D. (2009). Early algrebra and algebraic reasoning.I Lester F., K (red.). Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. Information Age Publishing.
Figur 7: Ulike oppgaver til undervisningopplegg. I Lovin, L., A., H. og Van de Walle, J., A. (2005). Teaching Student-Centered Mathematics: Grades 5-8. Pearson Education.
Kommentarer
Legg inn en kommentar