Geometri og teknologi

Barns hverdag er preget av teknologi. Med hele verden i sin lomme og skjermer i hvert rom er barn i kontakt med teknologi hele tiden. Og det er bra, for verden blir ikke mindre teknologisk. Tvert imot, stadig flere ting blir digitale og krever digital kompetanse. Og barn har digital kompetanse. 

Så hvorfor er ikke dagens matematikklasserom fylt med teknologiske hjelpemiddel og verktøy? Hvorfor får ikke dagens elever utforske matematiske konsept gjennom digitale verktøy? En del av forklaringen kan nok skrives til manglende kompetanse hos lærere. Men det kan også være at vi ikke er klar over hvilke muligheter som finnes. 

Jeg skal etterhvert presentere noen digitale verktøy som fint kan trekkes inn i matematikkundervisningen. Mer spesifikt geometriundervisningen. Men for å forstå hvorfor det kan være nyttig for elevene å lære geometri på denne måten, så skal jeg først presentere kort hvordan barn lærer geometri. 

Van Hiele

Pierre van Hiele og hans kone Dina van Hiele-Geldof har hatt stor innvirkning på undervisning i geometri over hele verden gjennom utviklingen av sin modell for geometrisk forståelse. Modellen har 5 nivåer, og jeg skal her gå kort inn på de tre første nivåene, da det er disse som er mest relevant for grunnskolen. 

Figuren viser inndelingen og oppbyggingen av modellen. 

På første nivå vil elevene kunne gjenkjenne en figur basert på hvordan den ser ut. Denne gjenkjennelsen vil skje uten å trekke inn egenskaper knyttet til en figur. En elev som blir presentert med og gjenkjenner et kvadrat vil ikke kunne begrunne sin oppfattelse utover: “Fordi det ser ut som et kvadrat.”. Og vil på den måten kunne endre oppfatning av en figur hvis den blir rotert eller speilet slik at den ikke lenger ser ut som de er vant til å se den. 

• Lærer: “Hva kan vi si om figuren til venstre?”
• Elev: “Det er et kvadrat!”
• Lærer: “Hva med figuren til høyre?”
• Elev: “Det ser ut som en diamant.”

Dette er en fiktiv samtale mellom en lærer og en elev, diktet opp for å illustrere hvilken grad av geometrisk forståelse en elev har på van Hieles første nivå. 

På andre nivå vil en elev i større grad fokusere på klassifisering av figurer. Er man på dette nivået vil man være i stand til å identifisere hva som gjør at en trekant er en trekant. Da vil mer foranderlige egenskaper, som størrelse og orientering, i større grad bli oversett når eleven skal avgjøre hvilken klasse figuren tilhører. Det som her blir viktig er å gjenkjenne egenskaper som er viktige for klassifiseringen av en figur. 

“Hvis alle fire vinklene er rette vinkler, så må det være et rektangel”

På tredje nivå vil elevene være i stand til å se sammenhenger mellom egenskaper knyttet til geometriske figurer. Her vil elevene i større grad kunne benytte seg av resonnering på bakgrunn av egenskaper ved figurer.  

“Hvis alle fire vinklene er rette, så må det være et rektangel. Hvis det er et 

kvadrat er alle vinklene rette. Det betyr at hvis det er et kvadrat, 

så er det også et rektangel.”

Disse første nivåene til van Hiele sier noe viktig om hva geometri er, og hvilket utbytte vi kan gi elever ved å jobbe med geometri. For det første er geometri veldig mye mer enn å kunne se forskjell på en trekant og en sirkel. Det er til og med mer enn å kunne skille mellom et kvadrat og et rektangel. Van de Walle trekker frem utvikling av romfølelse i Teaching Student-Centered Mathematics. Romfølelse er en slags superkraft hjernen vår benytter seg av hver dag. Den hjelper oss mer enn vi aner. Uten romfølelse ville vi til stadighet gå inn i vegger, stoler og bord. Vi ville hatt problemer med å få armer og bein til å treffe passende hull i klesplaggene våre, og det å skulle finne frem på en ukjent plass ville vært et håpløst prosjekt. Nå er heldigvis romfølelsen vår ganske velutviklet innen vi begynner på skolen og skal lære om geometri. Men arbeid med geometriske figurer vil videreutvikle evnen vår til å visualisere figurer. Og ikke nok med det, vi kan til og med rotere og manipulere figurer i hodet. Prøv å visualisere en pyramide for ditt indre øye. Prøv så å snu pyramiden opp ned, eller bare å se den fra en annen vinkel. Gratulerer, du har nå demonstrert bruk av superkraften romfølelse på ganske imponerende vis!

Så hvilke digitale verktøy har vi til vår disposisjon? 

CAS (Computer Algebra Systems) er et verktøy som er blitt forsket mye på. Heid, Thomas og Zbiek har samlet og diskuterte noe av denne forskningen i kapittel 20 i Third International Handbook of Mathematics Education. Dette kapittelet tar i hovedsak for seg algebra og hvordan bruken av CAS potensielt kan endre algebraens rolle i matematikkpensumet. Jeg skal ikke gå veldig mye inn på hva Heid og kollegaer kommer frem til, men jeg kan berolige deg med at algebra blir med oss inn i fremtiden. Det jeg derimot skal bruke litt tid på er å trekke frem noen interessante funn og relevante poeng fra dette kapitlet. Det viser seg nemlig at CAS kan hjelpe oss vekk fra en matematikkundervisning som er for sterkt preget av instrumentelle tilnærminger. Nå er det nok sikkert flere måter å gjøre dette på som ikke innebærer den teknologiske revolusjonen som en implementasjon av CAS vil medføre. Men ihvertfall for min egen del gir det mening å ta med elevene inn i fremtiden. Eller, det vil si, varianter av Computer Algebra Systems har vi hatt tilgjengelig i flere tiår allerede, så det handler kanskje mer om å gi elevene tilgang til et eksisterende matematisk verktøy. 

Men vi trenger fremdeles lærere. Heldigvis. For et av funnene som blir presentert i Third International Handbook of Mathematics Education er at i mange tilfeller ble CAS i stor grad brukt til å finne svar på konkrete oppgaver fra en lærebok. Altså ble det enorme verktøyet, som CAS er, redusert til en fasit. Dette er egentlig ikke veldig overraskende, all den tid elevene er opplært og vante til at matematikk i sin helhet er en rekke oppgaver på en side i en bok. Michéle Artigue skrev i en artikkel i International Journal of Computers for Mathematical Learning i 2002 at dette var “the transmission of the bases of mathematical culture”. Altså en videreføring av en sosialt konstruert forståelse av hva matematikk innebærer. Å her blir selvfølgelig læreren viktig i arbeidet med et verktøy som CAS. Det må legges til rette for at elevene får utnyttet mulighetene og utfordringene som følger med en slik ressurs. Og det må sørges for at elevene blir veiledet til undring, utforsking og eksperimentering. 

En av de store styrkene til CAS ligger i den dynamiske linken man kan opprette mellom symbolbehandling og fremstillinger i form av regneark, koordinatsystem og geometriske verktøy. 

Vi har i lange tider operert med konkreter i matematikkundervisningen. Disse fungerer fordi de ofte gir mening i større grad enn et abstrakt eksempel i en bok. I tillegg er de ofte manipulerbare, de har altså muligheten til å vise matematiske konsekvenser av endringer eleven selv gjør. Disse egenskapene har også digitale verktøy. I tillegg har man muligheten til å lagre alle konfigurasjoner man ønsker å ta vare på. Man kan til og med lage enkle animasjoner for å illustrere en spesifikk idé. Dette trekkes frem som viktige fordeler ved digitale matematiske verktøy i Douglas Clements og Julie Saramas kapittel i Second International Handbook of Mathematics Education.  

GeoGebra er et verktøy mange av oss kjenner til. Og det er nettopp et verktøy som kombinerer geometri og algebra. Det ligger til og med i navnet. GeoGebra har innebygget CAS-funksjonalitet i tillegg til å være et nyttig geometrisk verktøy hvor man kan konstruere og manipulere geometriske figurer. I opplegget som følger vil jeg dra nytte av GeoGebras evne til å dynamisk manipulere sammenhenger mellom geometriske figurer. 

Thales setning med GeoGebra

Jeg vil nå presentere rammene for noen undervisningsøkter på ungdomstrinnet hvor elevene får bruke GeoGebra til å utforske noen viktige geometriske sammenhenger og idéer. Nøyaktig hvordan undervisningen skal organiseres vil være avhengig av hvilke ressurser man har tilgjengelig og hvordan klassen er vant til å jobbe. Men de ideelle er hvis alle elevene har hver sin datamaskin. Men å organisere dette i par eller små grupper er også mulig. Hovedidéen her er å la elevene utforske en matematisk sammenheng med relativt frie tøyler. Jeg har laget et eksempels som kan være et utgangspunkt for en slik utforsking. Eksempelet tar for seg Thales setning, som sier at i en trekant ABC hvor AB utgjør diameteren i en halvsirkel og C ligger på sirkelperiferien, så vil vinkel C være en rett vinkel uansett hvor på halvsirkelen den ligger. Det i utgangspunktet ikke åpenbart hvorfor det må være slik. 

Lærerens rolle blir i utgangspunktet bare å sette elevene i gang. Om man velger å la elevene selv konstruere figurene i GeoGebra eller om man vil gi elevene en link til et ferdig konstruert oppsett ( Link til oppsett i GeoGebra ) vil være avhengig av hvor god tid man har. Men har man tid så vil elevene ha både nytte og glede av å utforske verktøyene i GeoGebra. 

Første steg i dette opplegget vil innebære å la elevene “oppdage” Thales setning. GeoGebra lar deg sette på et vinkelmål og gir deg mulighet til å dra punktet C langs sirkelbuen. 

Neste steg vil innebære å stille elevene utfordrende spørsmål om hvorfor denne sammenhengen finnes. Vi ser at det er slik, men hvorfor? Spørsmålene man stiller til elevene blir viktige. Spørsmålene bør være åpne slik at man ikke legger for mange føringer for hvordan elevene tenker. Men samtidig kan det være lurt å stoppe av og til for å la elevene presentere og dele tanker om ting de har kommet frem til så langt. 

Så vil det jo være interessant hvis man kunne tilnærme seg et bevis for Thales setning. Det vanligste beviset er nokså skriftlig og litt vanskelig å tilnærme seg direkte gjennom GeoGebra. Men Paul Lockhart legger i sin bok A Mathematicians Lament frem et geometrisk bevis som en av hans elever kom frem til. Beviset går ut på å utvide halvsirkelen til en hel sirkel og rotere trekanten 180° slik at man får en firkant. Igjen blir spørsmålene man stiller som lærer viktige. Her er det nemlig viktig at vi får elevene til å tenke over hvorvidt det er åpenbart at rektangelet vårt faktisk er et rektangel, og ikke bare et parallellogram.  

En ting vi bør være litt oppmerksomme på er at vi har en tendens til å tillegge dataprogram en viss autoritet. Elevene havner færre situasjoner hvor det er naturlig å stoppe å tenke: “Gir dette mening?”. Hvis datamaskinen viser at vinkelen er 90° uansett hvor punkt C ligger på sirkelperiferien, så må det jo være slik. Her blir igjen lærerens evne til å få elevene til å reflektere viktig. De riktige spørsmålene må stilles. Elevene må få mulighet til å grunngi hvorfor ting er som de er. Kazemi og Hintz kommer i sin bok Intentional Talk inn på mange måter man kan håndtere slike situasjoner. Gjennom åpne spørsmål vil man kunne få et bredt spekter av svar som man kan bygge videre på. Ved å gjenta elevenes svar kan man velge å legge vekt på viktige elementer samtidig som man ivaretar eleven som gav svaret. De peker også på viktigheten av å skape en kultur i klasserommet for deling og diskusjon. Like viktig er det å lære elevene å stille spørsmål ved matematikken de møter, også det som er tilsynelatende åpenbart. 

Litteratur 

Battista, M. T. The Development of geometric and spatial thinking. Second International Handbook of Mathematics Education. 

Clements, D. H. & Sarama, J. Early Childhood Mathematics Learning. Second International Handbook of Mathematics Education.

Heid, M. K., Thomas, M. O. J. & Zbiek, S. M. How Might Computer Algebra Systems Change

the Role of Algebra in the School Curriculum? Third International Handbook of Mathematics Education. 

Kazemi, E. & Hintz, A. (2014). Intentional Talk. Portland: Stenhouse Publishers 

Lockhart, P. (2009). A Mathematicians Lament. New York: Bellevue Literary Press 

Van de Walle, J., Bay Williams, J. M., Lovin, L. H. & Karp, K. S (2006). Teaching Student-Centered Mathematics.