Tverrfaglig arbeid for å øke bevissthet og fremme forståelse

Kandidatnummer 1 og 9 

Tverrfaglig arbeid -

øke elevenes bevissthet og fremme deres forståelse i matematikk.

Tverrfaglig arbeid kan være en ressurs til å vise elevene hvordan matematikk kan brukes på andre områder enn i matematikkundervisningen og ellers i skolesammenheng. Erfaringsmessig er det både frustrerende og “motivasjonsdrepende” å sitte med spørsmål som «hvorfor må vi lære dette?» og «kommer vi noen gang til å få bruk for dette?». Vi har selv tenkt at matematikken fort kan bli mer interessant hvis man klarer å koble oppgavene til dagliglivet, der man virkelig ser hvordan matematikken kan brukes i praksis. Det kan også tenkes at man kan få et større engasjement hos elevene, siden mange vil ha relasjoner til oppgavene. Elevene vil kunne se at det man lærer i matematikkundervisningen også kan brukes i dagliglivet og dermed kan være noe man har bruk for i fremtiden. Med disse tankene som grunnlag vil vi i dette blogginnlegget se nærmere på hvordan man gjennom tverrfaglig arbeid i matematikk og kroppsøving kan bidra til å øke elevenes bevissthet og fremme deres forståelse i matematikk. 

Hva er forståelse?

Forståelse er et sentralt begrep i vitenskapsfilosofien, spesielt innenfor hermeneutikk, og betyr å oppfatte eller avdekke meningen med noe eller i noe. Med andre ord vil dette si å gripe mening, se sammenhenger og å ha kunnskap om noe (Sletnes, 2017). Innenfor matematikk er forståelse et omdiskutert tema, og forskere har kommet frem til ulike begreper der de beskriver hvordan elever kan forstå matematikk. 

Hiebert og Lefevre presenterer “conceptual and procedural knowledge”, som beskriver to ulike måter elever kan vise forståelse i matematikk (Hiebert & Lefevre, 1986). Vi har oversatt begrepene til konseptuell og prosedural forståelse, og vil bruke denne oversettelsen videre i innlegget. Konseptuell forståelse er karakterisert som en forståelse som er rik på relasjoner. Dette vil si at eleven kan koble noe en tidligere har lært opp mot et større nettverk. Et eksempel kan være at elever tar med seg tidligere kunnskap om desimaltall når en skal lære seg å regne med brøk. Eleven forstår altså matematikken gjennom en allerede innlært kunnskap. Med andre ord handler konseptuell forståelse om å ha en forståelse og se sammenhenger mellom ulike konsepter, operasjoner og relasjoner (Hiebert & Lefevre, 1986). Prosedural forståelse deler Hiebert og Lefevre inn i to deler; eleven forstår språket og symbolene og eleven kan algoritmen. Denne forståelsen dreier seg i større grad om ferdigheter og “pugging” av algoritmer. Eleven kan forstå at det blir rett å skrive 3 + 5 = x, men en kan ikke begrunne hvorfor, noe som elever med konseptuell forståelse ville hatt større mulighet til å klare. Derimot vil fordelen med denne type for forståelse være at man vil kunne regne nøyaktig, effektivt, fleksibelt og hensiktsmessig (Hiebert & Lefevre, 1986). Historisk sett er det et klart skille mellom begrepene konseptuell og prosedural forståelse, men Hiebert og Lefevre mener det finnes en sammenheng (Hiebert & Lefevre, 1986). De mener at ikke all forståelse kan kategoriseres som det ene eller det andre, men at det også finnes en mellomting.

I likhet med Hiebert og Lefevre presenterer også Skemp to ulike måter som beskriver hvordan elever kan vise forståelse i matematikk. Disse begrepene kaller Skemp for “relational and instrumental understanding”, som vi har oversatt til relasjonell og instrumentell forståelse (Skemp, 1986). Ifølge Skemp har eleven en relasjonell forståelse hvis en ikke bare skjønner hvilken metode man skal bruke for å løse en oppgave, men også hvorfor denne metoden fungerer. Eleven kan i tillegg relatere metoden til problemet og være i stand til å bruke den samme metoden når en skal løse andre oppgaver. Instrumentell forståelse beskriver Skemp som “rule whitout reasons” og “not a understanding at all”, eleven kan altså utføre innøvde algoritmer uten å kunne begrunne hvorfor. Dette er det Skemp mener blir læring uten forståelse (Skemp, 1986). I motsetning til Hiebert og Lefevres mening om at det finnes en sammenheng mellom begrepene om forståelse, mener Skemp at begrepene er en motsetning til hverandre. Eleven har altså enten en relasjonell eller en instrumentell forståelse (Skemp, 1986).

Selv om begrepene har ulike navn kan man se klare likhetstrekk mellom konseptuell og relasjonell forståelse og prosedural og instrumentell forståelse.Konseptuell og relasjonell forståelse bygger på en dypere forståelse, hvor elevene resonnerer og reflekterer seg rundt oppgaven. På den andre siden vil prosedural og instrumentell forståelse kjennetegnes ved å kunne algoritmene. Den tydelige forskjellen mellom Hiebert og Lefevres begrep er at de ser en sammenheng mellom ulike forståelser, mens Skemp derimot ser på de som en motsetning. Videre i innlegget vil vi bruke Hiebert og Lefevres begrep, fordi vi også mener at man burde se på begrepene som en sammenheng. Vi mener at den konseptuelle forståelsen vil bidra til at elevene ser helheten og kompleksiteten i matematikk. Likevel mener vi at det også kan være en styrke å ha den prosedurale forståelsen som grunnlag for å kunne utvikle den konseptuelle forståelsen. 

Hvordan kan man oppnå forståelse?

Som tidligere nevnt kommer forståelse i ulike former. Det som er lagt vekt på i denne bloggen er forståelser som fremmer læring, resonnering, refleksjon, diskusjon og kommunikasjon. Læreren har et stort ansvar når det gjelder hvilken forståelse elevene skal oppnå i undervisningene, om det er det ene eller det andre, eller at alt skal gå hånd i hånd. For å få et innblikk i hvordan elevene tenker er man nødt til å se på hvordan læreren legger opp matematikkundervisningen. Er undervisningen lagt opp slik at elevene kan bidra og være med å påvirke, eller er den mer lærerstyrt?

Chapin, O’Conner og Anderson mener at klasseromssamtaler er et viktig verktøy som kan tas i bruk for å fremme bedre kommunikasjon og læring. Dette kan skape muligheter til å diskutere, resonnere og lære av medelevers tanker. For at man skal kunne bruke dette verktøyet optimalt er det først og fremst viktig å etablere grunnregler som handler om at man er respektfull og høflig mot hverandre. Gode regler og normer fører til en god klasseromskultur og et godt miljø, der elevene kan føle seg trygge med hverandre og tør å delta i helklassediskusjon. Som hjelp til å føre gode samtaler som støtter matematisk tenking snakker Chapin et. al. om de seks “Talk Moves”, altså seks steg som som skal bidra til gode klasseromssamtaler. Disse seks stegene er: Say more, revoicing, repeating, reasoning, adding on og waiting (Chapin, O’Conner & Anderson, 2009).

Say more handler om å gi elevene en sjanse til å forklare seg mer før læreren tar over elevens ord og tanker. Revoicing blir brukt for å avklare det som blir sagt, slik at man får med seg flest mulig og for å bekrefte om man har forstått det eleven sier. Dette gjøres ved at læreren gjentar eller omformulere det eleven sier. Repeating gir andre elever en sjanse til å repetere det medeleven har sagt, på denne måten kan samme utsagn bli formulert på flere måter. Reasoning brukes av læreren for å flytte oppmerksomheten til noen andre, slik at de også kan komme med innspill. Dette gjøres ved å spørre om meninger og begrunnelse hos andre elever i klassen om de er uenig eller enig med utsagnene som er kommet fram så langt. På denne måten skaper læreren refleksjon rundt temaet som det jobbes med. Adding on blir brukt for å skape diskusjon, der elevene kan argumentere og legge til noe rundt temaet som ikke er blitt sagt. Det siste steget, Waiting, skal hjelpe elevene med å få i gang tankeprosessen (Chapin et. al., 2009). Meningen med dette steget er å gi elevene mer tid til å tenke og reflektere rundt det som er blitt diskutert. Dette steget mener Dylan Wiliam er et steg som lærere bør bli flinkere til. Det at lærere ikke gir elevene nok tid til å svare på spørsmål er et velkjent tema. Lærere har rett og slett en vane der hvor de i mange tilfeller “hjelper” elevene ved å bidra med hint eller forenkle spørsmålet, hvis de ikke får en rask nok respons. Wiliam argumenter også med at det ikke nødvendigvis trenger å være læreren som alltid stiller spørsmål, men at det også er hensiktsmessig å få elevene til å generere egne spørsmål for å forbedre deres læring (Wiliam, 2007).

Ved å bruke disse seks stegene for “Talk moves” kan læreren være med å skape sosiomatematiske normer i klasserommet. Dette er normer som handler om normative aspekter som er spesifikke for elevenes og lærerens matematiske aktiviteter. Ved å ta i bruk “Talk Moves” som et verktøy i klasserommet vil elevene lære seg at i matematikkundervisningen er det akseptabelt å bidra med innspill uansett om man har rett eller ikke, uten å få negative kommentarer tilbake (Yackel & Cobb, 1996). Gode klasseromssamtaler hjelper elevene med å utvikle konseptuell forståelse for matematikkfaget, fordi elevene i større grad vil reflektere og resonnere over det de gjør. Samtidig som at det også er et godt verktøy for å oppdage elevens misforståelser og avklare deres forståelser (Chapin et. al, 2009). Den vil i tillegg også bidra til å utvikle “higher order thinking” hos elevene, som igjen fremmer gode problemløsere i matematikkfaget. Elevene vil gjennom dette kunne oppnå bedre kunnskap og innsikt i egne tankeprosesser, som igjen kan bidra til at elevene bevisst og automatisk reflekterer og resonnerer rundt oppgavene de får utdelt. Dette blir med andre ord også kalt for metakognisjon og tankevaner (Lesh & Zawojewski, 2007). 

Denne filmen illustrerer hvordan man kan skape gode samtaler i klasserommet. 

For å få i gang en god klasseromssamtale er det viktig å ha oppgaver som utfordrer elevene. Barn og unge tenker ulikt, derfor er det viktig å legge opp til en undervisning som tillater at alle får muligheten til å bidra. Lærere bør lage et opplegg som utfordrer elevene både faglig og kognitivt, slik at de får utforske sin kreativitet og virkelig forstå hva det er de holder på med. På denne måten kan man skape engasjement, motivasjon og lyst til videre læring hos elevene, i tillegg til at man kan få elevene til å se at matematikk ikke bare kommer i sammenheng med skole. En god måte å få til dette på er å gi elevene rike oppgaver som kan løses på ulike måter og der eleven ikke uten videre ser hva man skal gjøre, samtidig som nye oppgaver kan dukke opp underveis.

Undervisningsopplegget

Undervisningsopplegget vi har laget er et tverrfaglig opplegg i matematikk og kroppsøving som er tiltenkt 10. trinn. Formålet med undervisningsopplegget er å øke bevisstheten og fremme elevens forståelse i matematikk gjennom å koble opplegget til dagliglivet. Vi ser for oss at dette kan gjennomføres på høsten der elevene skal på telttur i kroppsøving og får flere utfordringer i matematikktimene når de skal planlegge turen.Gjennom dette tverrfaglige prosjektet skal elevene jobbe med ulike temaer innenfor matematikken, som blant annet går ut på måling og funksjoner. Vi ser det hensiktsmessig å dele undervisningsopplegget i tre deler; introduksjon, arbeidsdel og oppsummering. 

Introduksjon

Vi tenker det vil være nødvendig å starte opplegget med en introduksjon der vi presenterer det tverrfaglige opplegget for elevene. Introduksjonsdelen vil være for å repetere de mest relevante begrepene for oppgavene, som da vil være målestokk, diagram og prosentregning. Disse begrepene har elevene lært om tidligere. Det vil også være en forutsetning at elevene kan lese kart og har brukt kart i kroppsøving. Når disse begrepene er repetert mener vi elevene skal kunne løse oppgavene i undervisningsopplegget.

Når vi skal i gang med repetisjonen av begrepene er Chapin et.al. sine seks “talk moves” gode å bruke for å få lærerike klasseromssamtaler. Læreren kan for eksempel spørre elevene “hva tenker dere når vi sier måling?”. Her kan man bygge samtalen videre på svar man får fra elevene og med det styre samtalen inn på de matematiske ideene som er en del av oppgaven de skal løse. Her kan læreren ha de seks “talk moves” i bakhodet. Dette vil være en god måte å få i gang samtaler på, i tillegg til å skape diskusjon og refleksjon rundt de ulike begrepene. Hvis klassen allerede har jobbet inn gode normer kan denne klasseromssamtalen også bidra til at elevene oppnår en mer konseptuell forståelse i matematikken, da det for eksempel vil være greit at noen svarer “feil” og at elevene ikke er redd for å delta aktivt.

Tilslutt i introduksjonsdelen tenker vi at læreren skal gi elevene oppgavene de skal løse og presentere læringsmålene for opplegget. Oppgaven lyder slik;
           Dere skal på en høsttur hvor dere skal sove i telt. I grupper skal dere finne ut hvilken rute av de to som er tegnet opp på kartet som egner seg best å gå til. Dere skal bruke ca. 4 timer på å gå til teltplassen, så dette må dere ta hensyn til. Hint; legg alltid til 25% når dere jobber med kart, for å få en realistisk avstand. Dere skal ved bruk av kartet:
         1. Finne ut avstanden til campen.
        2. Lage løypeprofiler hvor man skal kunne se avstander og stigninger/høydeforskjeller. 

        3. Diskutere hvorfor man alltid må legge til 25% på avstanden når man jobber med kart. 

Arbeidsdel

 Dette vil være en relativt åpen og rik oppgave som vil utfordre elevene både faglig og kognitivt, noe som kan bidra til å utvikle “higher order thinking” hos elevene. Dette kan som tidligere nevnt gjøre at elevene bevisst og automatisk reflekterer og resonnerer rundt oppgavene de får utdelt. Siden det er en åpen oppgave og elevene jobber i grupper, kan det hele tiden dukke opp nye spørsmål de må diskutere og ta hensyn til. Dette kan som tidligere nevnt være god

læring, altså at elevene selv får formulere og generer egne spørsmål (Wiliam, 2007). 

Vi har tidligere nevnt at elevene skal jobbe i grupper, og vi ser det hensiktsmessig å dele elevene slik at de er på gruppe med medelever som ligger på samme nivå i matematikk. Dette vil gjøre at læreren kan variere hvor mye en veileder elevene ut ifra nivået på gruppa. I tillegg vil det være vanskelig å “gjemme” seg bak andre elever. Hvis elevene som er på gruppe ligger på mer eller mindre likt nivå i matematikk kan med andre ord dette bidra til at elevene kan oppnå en konseptuell forståelse.

Den første delen av oppgaven vil altså gå ut på at elevene gjennom å bruke målestokk må finne ut hvor lang begge de opptegnede rutene på kartet er, og deretter avgjøre hvilken rute som egner seg best når man har et tidsperspektiv på ca. 4 timer. Det nevnes ikke noe om målestokk i oppgaven, så dette må elevene selv komme fram til. Ut i fra de to opptegnede rutene må elevene ta hensyn til lengden og høydeforskjellene. Elevene skal også komme fram til hvorfor de må legge på 25% i strekningen, og det rette svaret her vil være fordi kartet kun viser luftlinjen. Vi tenker at denne oppgaven kan være fin å starte med da vi ikke tror den er for vanskelig, og det kan gi elevene som ligger på et lavere nivå en mestringsfølelse fra start. 

Illustrasjonen viser et eksempel på et kart med to ulike ruter fra start til mål.

Den andre delen av oppgaven må elevene selv tenke seg fram til hvordan de skal lage løypeprofilen, hva som egner seg til å få fram avstanden og høydeforskjeller på en best mulig måte. Denne oppgaven tenker vi vil være mer utfordrende enn den første, så her må læreren avgjøre i hvor stor grad de ulike gruppene trenger veiledning. Når elevene er ferdig med denne oppgaven kan de gå tilbake til den forrige å se om de har endret mening om hvilken rute som vil egne seg best å gå, siden de nå også har oversikt over høydeforskjellene. 

Illustrasjonen viser et eksempel på hvordan man kan framstille løypeprofil som viser avstander og høydeforskjeller i et diagram.


Det vil være viktig å ha samtaler med elevene både i gruppen og i plenum etter hver deloppgave de løser. Her kan man igjen bruke “talk moves” som en ressurs for å skape refleksjoner rundt hvordan de ulike gruppene har løst oppgavene, og med det få gode og lærerike diskusjoner i klasserommet og for at elevene skal lære av hverandre. 

Oppsummering

Vi ser det hensiktsmessig å ha en oppsummeringsdel i plenum etter at turen er gjennomført. Relevante spørsmål å reflektere rundt kan blant annet være “Var det nyttig å kunne regne ut hvor langt dere skulle gå i virkeligheten?”, “Var det nyttig å kunne lage en oversikt over høydeforskjeller i terrenget?”, “Hvordan løste dere oppgavene?”, “Er det noe vi burde gjort annerledes?”. Disse refleksjons spørsmålene kan være med på å fremme at man har bruk for matematikk utenfor klasserommet. Her kan læreren også benytte seg av “talk moves” og med det skape refleksjon, resonnering og god læring rundt oppgavene. Ved hjelp av “talk moves” og rike oppgaver som utfordrer elevene til å tenke på en annen måte, vil man kunne utvikle den konseptuelle forståelsen for matematikken. Helt til slutt vil det også være viktig å gå gjennom og reflektere rundt læringsmålene for å se om de er oppnådd. 

Avsluttende ord 

Diskusjonen rundt konseptuell og prosedural forståelse vil alltid være tilstede. Det vi har tatt utgangspunkt i i bloggen er at man gjennom “talk moves” og rike oppgaver kan jobbe med disse forståelsene hånd i hånd, slik at man kan skape læring av “higher order thinking”. Å jobbe slik i matematikkundervisningen kan skape mer bevissthet og fremme forståelse for matematikk. Gjennom tverrfaglige undervisningsopplegg, som i dette tilfellet omhandler matematikk og friluftsliv, vil elevene kunne se at man ikke bare bruker matematikk i skolesammenheng. Dette kan bidra til å skape mer motivasjon og engasjement hos elevene, og lyst til videre læring. 

Litteraturliste

Chapin, S. H., O’Connor, C. og Anderson, N. C. (2009). Classroom Discussions: Using math talk to help students learn. Sausalito, CA: Math Solutions.

Hiebert, J. and P. Lefevre (1986). Conceptual and procedural knowledge in mathematics: An introcutory analysis. Conceptual and prodecural knowledge: The case of mathematics. J. Hiebert. Hillsdale, NJ, Lawrence Erlbaum Associates. 

Lesh, R. & Zawojewski, J. (2007). Problem solving and modeling. I F.K. Lester, Second Handbook of Research on Mathematics teaching and learning (s. 763-804). Charlotte, NC: Information Age Publisher.

Skemp, R. R. (1976). Relational understanding and instrumental understanding: Mathematics teaching. Warwickshire: University of Warwick.

Sletnes, Kari Berit. (2007). Forståelse. I Store norske leksikon. Hentet 1. oktober 2018 fra https://snl.no/forst%C3%A5else

William, D. (2007). Keeping learning on track. I F. Lester (Red.), Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (s. 1053-1098). Charlotte, NC: Information Age Publisher.

Yackel, E., & Cobb, P. (1996). Sociomathematical Norms, Argumentation, and Autonomy in Mathematics. Journal for Research in Mathematics Education.

Illustrasjoner og video er hentet fra:
http://www.bjerkelopet.no/11-km/ (08.10.2018)
https://ws.geonorge.no/freeprint/tmp/iyxxpg.pdf (08.10.2018)
https://www.youtube.com/watch?v=BGBLMdXnTmo (08.10.2018)