Kreativitet i matematikken

Kreativitet i matematikken
- med fokus på bevis på "flytte-bytte-regelen"

Kandidatnr. 2

Introduksjon

Paul Lockhart (2009) i A Mathematician´s Lament beskriver matematikk som en kunst. Han sammenligner matematikk med musikk og maling, der forskjellen er at matematikk ikke blir anerkjent som kunst.

«A mathematician, like a painter or poet, is a maker of patterns. If his patterns are more permanent than theirs, it is because they are made with ideas.»

(Lockhart, 2009, s. 3).

Jeg ble veldig fascinert av denne artikkelen, fordi jeg lenge har sett på matematikk som noe kreativt. Det gikk opp et lys for meg da jeg leste denne artikkelen; selvfølgelig er det kunst. Jeg tror at dersom man legger opp til kreativitet i arbeidet med matematikken, vil man få store fordeler i den abstrakte delen av faget. Ut fra dette har jeg laget et undervisningsopplegg som er basert på forskning på hvordan man introduserer algebra for elevene og algebra som eget felt. Undervisningsopplegget skal bidra til et kreativt syn på matematikken.

Generelt i matematikken på dette studie har vi ofte vært innom dette med relasjonell og instrumentell forståelse. Jeg har også hatt dette i tankene når jeg har utformet undervisningsopplegget, og har valgt å trekke inn forskning innenfor dette temaet. Jeg har også hatt muntlighet og diskusjoner med i undervisningsopplegget, da det er en viktig del av matematikken; å kunne kommunisere sine matematiske tanker, diskutere og bevise ulike deler av matematikken. Undervisningsopplegget er tenkt til mellomtrinnet, og skal være en del av kompetansemålet «stille opp og løyse enkle likningar og løyse opp og rekne med parentesar i addisjon, subtraksjon og multiplikasjon av tal» (Utdanningsdirektoratet, 2006).

Relasjonell/konseptuell og instrumentell/prosedyrell kunnskap

Hiebert og Lefevre (1986) snakker om konseptuell og prosedyrell kunnskap. Det har lenge vært en diskusjon om forskjellene i disse, og den mest kjente forskjellen i disse type kunnskapene er forståelse og ferdighet. I en matematisk sammenheng er konseptuell kunnskap en forståelse for matematikken, mens prosedyrell kunnskap er en ferdighet man innehar for å kunne utføre prosedyrene som kreves. Forholdet mellom utregningsferdighet og matematisk forståelse er en av de eldste bekymringene i matematisk psykologi. Bakgrunnen for at det har vært en bekymring er fordi mange psykologer og lærere mener at den matematiske forståelsen er nøkkelen til mange læringsprosesser og problemer. Hiebert og Lefevre fokuserer på at man ikke skal velge «enten eller» når man definerer en persons matematikkunnskaper. De mener at kompetanse og forståelse er viktig fordi de er viktige og avgjørende roller i utviklingen av matematisk kompetanse. Det er forståelsen for forholdet mellom disse to former for kunnskap som vil gi størst uttelling.  

Skemp (1976) bruker derimot de begrepene vi er mest kjent med; relasjonell og instrumentell forståelse. Skemp sier at han ikke har sett på instrumentell forståelse som en type forståelse før, men at andre beskriver det som en forståelse fordi man ser hvordan man skal bruke en regel eller en formel. Skemp beskriver fordeler og ulemper med både relasjonell og instrumentell forståelse. For eksempel er multiplikasjon med to negative tall svært vanskelig å forstå relasjonelt, men enklere å godta dersom man lærer instrumentelt. Instrumentell og relasjonell forståelse er noe som ikke har noe sammenheng med hverandre. Enten har man det ene, ellers har man det andre.

Dersom man ser disse artiklene opp mot hverandre ser vi forskere som har ulike syn på oppdelingen av matematisk forståelse. Allikevel ser vi likhetstrekk fra begge artiklene. Det Hiebert og Lefevre legger i prosedyrell kunnskap er det samme som Skemp legger i instrumentell forståelse, og det samme med konseptuell kunnskap og relasjonell forståelse. Vi har gjennom hele tiden her på lærerutdanningen hatt mye fokus på det med å gi elevene en relasjonell forståelse i matematikk. Skemp nevner gode forklaringer til hvorfor mye av undervisningen på skolen legger opp til instrumentell forståelse av matematikk, bl.a. at det er slik det står i lærebøkene og at man lærer ofte ting proseduralt i dagliglivet. Hiebert og Lefevre mener man skal bruke denne inndelingen i ulike typer forståelse i matematikk for å hjelpe elevene et steg i riktig retning. Som lærer er det viktig å ta utgangspunkt i elevenes forståelse å bruke den på veien videre mot en god matematisk forståelse og faglig tyngde.

Bakgrunn for undervisningsopplegget

Matematikk er kunst, og det er en stor fordel å være kreativ. Kreativitet løsriver en fra regler, og man kan lettere se løsninger i matematiske sammenhenger. Forskning presentert av Carraher & Schliemann (2007) viser til flere misoppfatninger blant elever på mellomtrinnet og ungdomskolen, dersom de ikke blir presentert for algebra på barneskolen;

Misoppfatningene innebærer bl.a. at elevene

• Ser på likhetstegnet som et enveis-operasjonstegn
• Har bare ett fokus på å finne et bestemt svar
• Kjenner ikke til de kommutative og distributive egenskapene i matematikken
• Kan ikke bruke bokstaver som generaliserte tall eller som variabler
• Har ikke en forståelse for at ekvivalente operasjoner på begge sider av likhetstegnet i en likning utgjør ingen forskjell for den ukjente

I den norske skolen skal elevene etter 7. trinn blant annet «stille opp og løyse enkle likningar og løyse opp og rekne med parentesar i addisjon, subtraksjon og multiplikasjon av tal» (Utdanningsdirektoratet, 2006). Det betyr at i løpet av mellomtrinnet skal de beherske enkle likninger. Kieran (2007) presenterer forskning som viser at lærere ofte legger opp undervisning etter læreboken, selv om de har god pedagogisk og matematisk forståelse for hvordan elevene egentlig lærer best om algebra. Kieran har også utviklet en modell som tar for seg hovedtrekkene ved algebraiske aktiviteter; GTG-modellen. Den deler skolealgebraen inn i tre forskjellige typer aktiviteter; generational (genererende), transformational (transformerende) og Global/Meta (resonnerende). Undervisningsopplegget tar utgangspunkt i genererende aktiviteter, som har hensikt å være meningsskapende for elevene i arbeid med ukjente, variabler og likhetstegnet.

Jeg har tatt utgangspunkt i Hiebert & Lefevre og Skemp, samt Carraher & Schliemann og Kieran og laget et undervisningsopplegg som skal være med på å bidra til en forståelse av den matematiske regelen «flytte-bytte». I tillegg til dette har jeg valgt kommunikasjonsformer som Hintz & Kazemi (2014) presenterer i sin bok Intentional talk. Jeg har hatt særlig fokus på den målrettede diskusjonsformen som kalles «Why? Let´s justify». Hintz & Kazemi tar utgangspunkt i fire prinsipper i sitt arbeid med klasseromsdiskusjoner:

• Diskusjonen skal ende i et matematisk mål
• Elevene skal vite hvordan og hva de skal dele slik at deres forståelse blir hørt og er til nytte for andre
• Læreren må involvere elevene med hverandre så de sammen kan oppnå det matematiske målet
• Læreren må kommunisere slik at elevenes ideer blir satt pris på

·  

Diskusjonstypen «Why? Let´s justify» er effektiv når man sammen med elever skal kunne forklare hvorfor regler i matematikken fungerer. For eksempel hvorfor man legger til 00 når man multipliserer med 100. De presenterer også ulike måter man kan rettferdiggjøre det man gjør:

• Rettferdiggjøre ved å henvise til en autoritet
• Rettferdiggjøre gjennom eksempler
• Rettferdiggjøre gjennom et generisk eksempel
• Rettferdiggjøre gjennom et deduktivt argument

1. 

I tillegg til å bruke den målrettede diskusjonen mener jeg det er viktig at læreren bevisst bruker ulike triks for å veilede og lede diskusjonene. Disse triksene vises i figur 1.

Figur 1 - Triks for å opprettholde en klasseromsdiskusjon

Undervisningsopplegg

Mål: Å kunne forklare «flytte-bytte-regelen» og bruke denne til å løse enkle likninger

Her vil jeg presentere et undervisningsopplegg som skal være med på å hjelpe elevene til å få en forståelse for «flytte-bytte-regelen». Som en introduksjon skal vi bruke vektskål for å konkretisere likhetstegnet. Vi skal da legge lodd, eller andre konkreter, i hver side av vektskålen, gjerne da med flere lodd eller lignende i minst en av vektskålene. Dette for å vise elevene at begge sidene av likhetstegnet må være det samme, utregnet eller ikke. Her er også en video som både lærer og elev kan bruke som introduksjon – med bakgrunn i Carrahan & Schliemanns Early Algebra-forskning.

Vi bruker eksempelet:

10 = 6 + 4

Figur 2 - Konkretisering av likhetstegnet v/ bruk av vektskål 

Deretter skal vi ta det et steg videre med å legge til en kjent mengde i den ene vektskålen, og det blir tydelig at vektskålen ikke lengre er i likevekt. Hva må man gjøre da? Elevene skal diskutere og komme med forslag til hva man må gjøre for å få vektskålen i likevekt. Man kan også her både legge til og trekke fra, for å vise at man må gjøre det samme i både addisjon og subtraksjon. Tar man den enda lengre, kan man gjøre det med divisjon og multiplikasjon også.

 

Figur 3 - Illustrasjon av vektskål i ubalanse

Når vi har konkludert med at man må legge til lik mengde i vektskålene, er det på tide å gå bort fra vektskålen som konkret og gå over til abstrakte regnestykker. Vi starter med samme eksempel som tidligere:

10 = 6 + 4

Hva må man gjøre dersom man ønsker at det skal være 12 på venstre side av likhetstegnet? Vi diskuterer med elevene, og konklusjonen er: man må legge til 2 på hver side. Vi står da igjen med

10 + 2 = 6 + 4 + 2

Vi går tilbake til der vi begynte med

10 = 6 + 4

Vi ønsker å ha 6 på hver side av likhetstegnet. Hva gjør vi da?

Vi ender opp med dette:

10 – 4 = 6 + 4 – 4

Trekker sammen på begge sider og får:

6 = 6

Vi bruker samme eksempel som tidligere

10 = 6 + 4

Vi skal her presentere regelen «flytte-bytte».
«Når vi ønsker å få 6 på begge sider, kan vi flytte 4-eren over på andre siden av likhetstegnet og bytte fortegn. Hvorfor kan vi gjøre det?»

Elevene skal ha en målrettet diskusjon (Why? Let´s justify) for å kunne rettferdiggjøre det vi gjør. Og skal slik sammen med lærer konkludere med at «vi kan benytte oss av flytte-bytte-regelen fordi vi egentlig gjør det samme på begge sider, men hopper over et trinn».

Vi tar steget enda et hakk videre og går over til enkle likninger, som x + 2 = 5, og lærer skal sammen med elevene bruke «flytte-bytte-regelen» og rettferdiggjøre bruken av regelen ved å gjøre det som har blitt gjort tidligere.

Oppsummering

Jeg har her presentert et undervisningsopplegg som skal bidra til en forståelse for en ofte brukt regel i matematikk. Undervisningen er basert på forskning gjort på introduksjon til algebra og arbeid med algebra. Den har et fokus på diskusjon i klasserommet, med vekt på en målrettet diskusjon mot å rettferdiggjøre regelen som inkluderer elevene. Læreren skal være en veileder i diskusjonen og være med på å få elevene til å reflektere over de oppgavene de får. Læreren skal presentere en regel, og elevene skal være med på å bevise hvorfor regelen kan brukes, og bruke den til å løse enkle likninger.

Undervisningsopplegget er ikke fastsatt, og kan justeres etter elevenes forutsetninger. Man kan også bruke deler av undervisningsopplegget uten at det mister sin betydning. Tanken for undervisningsopplegget er at det skal bidra til en forståelse og progresjon i elevenes læring. Den kan brukes både til innføring av algebra og til å regne med algebra. Elevene skal få bruke kreativiteten sin, og utvikle sin kreative sans innen matematikk som kan hjelpe dem på veien videre.

Kilder

Carrahan & Schliemann (2007) Early alegbra and algebraic reasoning. I Lester, F. K. Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. Information Age Publishing, pp. 669-705

Hintz, A. & Kazemi, E (2014) Intentional talk – how to structure and lead productive mathematical discussions. Stenhouse Publishers

Hiebert, J. & Lefevre, P. (1986) Conceptual and Procedural Knowledge in Mathematics: An Introductory Analysis

Kieran, C. (2007). Learning and teaching algebra at the middle school through college levels. I Lester F., K. Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. Information Age Publishing, pp. 707-762

Lockhart, P. (2009) A mathematicians lament. Bellavue Literary Press: United States

Skemp, R. (1976) Relational Understanding and Instrumental Understanding

Utdanningsdirektoratet (2006) Læreplan i matematikk fellesfag. Hentet fra https://www.udir.no/kl06/MAT1-04/Hele/Kompetansemaal/kompetansemal-etter-7.-arssteget