Av kandidatnummer 11
Resultater fra TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study) viser at norske elever på 8. trinn de senere år har hatt framgang i emnene tall, geometri og statistikk (Bergem, Kaarstein & Nilsen, 2016). Like lystig er det derimot ikke når det gjelder emnet algebra, hvor elevene i den samme aldersgruppen presterer markant dårligere. Innenfor algebra presterte elevene bedre i 2011 sammenlignet med 2007, mens de i 2015 presterte på 2007-nivå (Bergem, et al., 2016). Sammenligner vi oss med referanselandene ser vi at 9. klassingene våre hevder seg innenfor emnene tall, geometri og statistikk, mens de i algebra er svake. Videre viser det seg at en hovedårsak til frafall innen høyere utdanning, eksempelvis ingeniørutdanning, kommer av at studentene innehar for dårlig kompetanse i algebra (Grønmo, 2013).
 |
| Bergem et al. 2016 |
Hva er årsakene til at vi
henger etter? For å forstå dette har jeg valgt å se på om forskning viser
hvorfor ungdomsskoleelever trøbler. Kieran (2010) fremhever at mange elever
mangler forståelse for likhetstegnet og at dette blir ytterligere problematisk
når algebraen for alvor tar til. På bakgrunn av dette vil elevene også ha
problemer med å akseptere bokstaver i deres endelige svar (Kieran, 2010). De
vil derfor ikke godta at 2b+a-b=a+b. Dette støttes opp av Carraher og
Schliemann (2009) som hevder at elevene ser ut til å etterstrebe et så «rent og
enkelt» tall som mulig når de skal gi sitt endelige svar på ulike regneoppgaver.
I lys av dette vil jeg
videre i blogginnlegget introdusere et tiltak som kan iverksettes slik at vi kan
få bukt med denne problematikken. Tiltaket det dreier seg om er å implementere "algebraisk tankegang" tidligere i elevenes skoleløp. Videre vil jeg presentere et
undervisningsopplegg inspirert av denne tankegangen. Her vil jeg også vise til
ulike grep læreren kan gjøre for å skape et godt klasserom med gode og lærerike
matematiske samtaler.
I artikkelen «Early
algebra and Algebraic reasoning» (2009) foreslås konkrete tiltak som kan bidra
til å styrke elevenes forståelse for algebra. Dette er tiltak som bør iverksettes
før den formelle algebraen tar til i skolen, mer spesifikt i aldersgruppen 6-12
år (Carraher & Schliemann, 2009). Early algebra handler om å introdusere
elevene for algebraisk tenkning før man begynner den formelle delen av algebra.
Å tenke algebraisk forklares som å løse problemer gjennom algebraisk tankegang
uten å ta i bruk formell algebraisk notasjon. Videre påpekes det at algebraiske
problemer fra gammelt av ble løst før den formelle algebraiske notasjonen
vokste frem. Ideen er at elevene gjennom arbeid med regler i aritmetikken,
eksempelvis aksiomene, skal være bedre rustet til å takle den algebraiske
notasjonen de lærer senere. Blant annet foreslår forfatterne i artikkelen tre
ulike innfallsvinkler for å få elevene til å tenke algebraisk uten å innføre
«det formelle algebraiske språket». Jeg vil her presentere en av
innfallsvinklene:
En av innfallsvinklene de foreslår er nummerisk resonnement. Her er målet
at elevene gjennom arbeid med tallforståelse skal tenke algebraisk. Arbeid med
forståelsen av likhetstegnet og oppgaver med «tomme bokser» er eksempler på en
slik tilnærming. Her skal elevene forstå at 3+5=8, men også at 8=3+, eller 3+ =8. Det handler i
stor grad om å endre den «vanligste» presentasjonsformen 5+3=8, at venstre side
«er lik» høyre side, og dermed skape aksept blant elevene for at 3+5=5+3, altså
den kommutative lov.
 |
| Carraher & Schliemann 2009 |
Undervisningsopplegg
Her følger et
undervisningsopplegg med fotfeste i teorien om early algebra. Opplegget kan og
bør gjennomføres tidlig på mellomtrinnet, gjerne på 5.trinn, med andre ord før
elevene møter den formelle algebraen i skolen. Undervisningsopplegget tar
utgangspunkt i følgende kompetansemål etter 7.årssteget:
Mål
for opplæringen er at elevene skal kunne: finne
informasjon i tekstar eller praktiske samanhengar, stille opp og forklare
berekningar og framgangsmåtar, vurdere resultatet og presentere og diskutere
løysinga (Utdanningsdirektoratet, 2013, s. 7).
Elevene skal samarbeide med
hverandre i grupper hvor de skal løse ulike oppgaver. De første oppgavene
handler om forståelse av likhetstegnet. De skal forstå likhetstegnet som «like
mye på begge sider», eller «det samme som», ikke bare at venstre side «er lik»
høyre side. Her bruker vi oppgaver med «tomme bokser», slik at elevene får
trening i å se hvilket tall som skal stå i den tomme boksen. Det vil være ulike
oppgaver, eksempelvis:
5+ =8
+5= 8
8 = + 3
3+5=4+
Etter hvert får elevene oppgaver
hvor de skal lage regnefortellinger til oppgavene, eksempelvis «jeg hadde 5
mynter, så fikk jeg noen mynter hos Per, nå har jeg 8 mynter, hvor mange mynter
fikk jeg hos Per»?
Videosnutten nedenfor er
et eksempel på en oppgave som også går på forståelse av likhetstegnet. I
tillegg møter elevene bokstaver, og oppgaven er derfor ment som en ekstra
utfordring. For å gjennomføre oppgaven vil konkreter, gjenstander med ulike farger
være disponible.
Oppgavene består av både
addisjon og subtraksjon, noe som støttes opp av Milgram og hans påstand om at
subtraksjon bør innlæres som en invers operasjon til addisjon, og at denne
saminnlæringen vil være gunstig for algebraforståelsen senere (Carraher &
Schliemann, 2009). Elevene får også oppgaver bestående av ligningssett, hvor figurer
representerer tall, og de må finne riktig verdi til figurene slik at likhetstegnet
gir mening. Et eksempel kan være:
a)
10 - = ⃤
+ + ⃤ =
13
Lærerens rolle i
undervisningen vil være av sentral betydning. Jeg ønsker med dette
undervisningsopplegget å bevege meg bort fra den velkjente IRE-modellen, hvor
lærer tar initiativ, elevene responderer og lærer evaluerer. Denne måten å
arbeide på er i for stor grad lærerdominant. I stedet skal lærer legge til
rette for en mer elevaktiv undervisning. Dette forutsetter at man har etablert
trygge rammer for elevene i klasserommet. Yackel & Cobb (1996) skiller
mellom sosiale og sosiomatematiske normer. Hvis en elev har forklart noe, og en
ny elev får ordet, forventes det at den nye eleven bidrar med noe nytt i
diskusjonen. Dette kan være et eksempel på en sosial norm. Et eksempel på en
sosiomatematisk norm kan være dersom en elev skal forklare noe, skal eleven ta
med seg alle stegene i forklaringen, slik at den blir så fullstendig som mulig
og slik at flest mulig kan forstå hvordan eleven har tenkt.
Stein et. al (2008) har laget
en modell med «five practices» som beskriver og forklarer lærerens rolle i
klasserommet, og som vil være en egnet måte å styre denne undervisningsøkta på.
Videre følger en kort forklaring av de fem punktene:
 |
| Stein et al. 2008 |
Anticipating – handler om
at lærer skal kunne forutse hva elevene gjør i klasserommet. Hvilke strategier
vil elevene benytte seg av, hva kan være utfordrende for elevene, og hvilke
misoppfatninger kan oppstå blant elevene? Dette er alle spørsmål læreren på
forhånd bør tenke over. Et eksempel på en mulig misoppfatning som kan oppstå i mitt
undervisningsopplegg er når elevene skal finne verdien til de ulike figurene i
ligningssettene. Det er ikke nødvendigvis slik at alle elever ser
ligningssettene under ett og at de dernest finner riktig verdi til figurene. Noen
elever vil kanskje tenke på det som to forskjellige oppgaver som er uavhengig
av hverandre.
Monitoring - handler om
at læreren skal fungere som observatør i klasserommet. I dette tilfellet skal
elevene arbeide gruppevis og her blir lærerens oppgave å finne ut hva og
hvordan elevene tenker, samt hvordan de jobber med de ulike oppgavene. Grundige
observasjoner vil gjøre det neste punktet i modellen enklere.
Selecting – handler om å
velge ut ulike løsningsforslag. Når læreren observerer hva og hvordan elevene
arbeider kan han samtidig planlegge hvilke løsningsmetoder han vil ta opp i
plenumsdiskusjonen. Hvis det skulle vise seg at enkelte av elevene hadde den
tidligere omtalte misoppfatningen knyttet til ligningssettet, vil læreren kunne
velge dette løsningsforslaget i plenumssamtalen.
Sequencing – handler om
rekkefølgen til presentasjonene. Læreren har nå valgt ut hvilke løsninger han
vil ta opp i plenum og under dette punktet handler det om å avgjøre
rekkefølgen. Eksempelvis kan han velge å starte med flertallets løsningsforslag
for deretter å ta en metode som ikke er like fremtredende. Alternativt kan man presentere
en riktig og en feil løsning, så lenge man «tråkker varsomt». For å gjøre det
vil jeg anbefale at både lærer og elever er svært trygge på hverandre, gjennom
godt etablerte sosiale normer slik Yackel og Cobb (1996) forklarer.
Connecting – handler om å
knytte sammen delene. Her skal læreren forsøke å skape sammenhenger mellom de
matematiske ideene. Gjennom å sammenligne ulike løsningsmetoder vil man oppdage
likheter og ulikheter mellom ulike løsningsmetoder, som igjen kan bidra til
dypere forståelse hos elevene.
I plenumsdiskusjonen er
det hensiktsmessig å benytte seg av noen av Chapin, O`Connor og Andersons «talk
moves» (2009) for å skape samtale i matematikkundervisningen:
 |
| Chapin, O`Connor & Anderson 2009 |
For eksempel kan det være
gunstig å benytte seg av repeating som talk move. Her kan lærer, eller andre
elever, gjenta forklaringen som blir gitt, enten gjennom direkte sitat eller
ved bruk av egne ord. Dette vil kunne medføre at flere forstår hva forklaringen
innebærer, og hvordan eleven har kommet frem til løsningen. I et tenkt scenario
fra mitt undervisningsopplegg vil, som allerede beskrevet, ligningssettet kunne
skape misoppfatninger. I et slikt tilfelle vil repeating som talk move kunne bidra
til å løse denne misoppfatningen.
Oppsummering og betraktninger
Dette
blogginnlegget har tatt for seg tematikken algebra og de utfordringene lærere
står ovenfor i matematikkundervisningen. Gjennom å støtte meg til artikkelen
duoen Carraher og Schliemann har skrevet om early algebra har jeg foreslått og
skissert opp et undervisningsopplegg som kan sette i gang algebraisk tenkning
hos elevene på et tidlig stadium. Hovedpoenget er å få elevene til å tenke
algebraisk før man eksponerer de for den formelle algebraen i form av uttrykk,
funksjoner og variabler. Oppgavene i undervisningsopplegget er utformet slik at
de får utfordret seg selv og hverandre på algebraisk tenkning. Eksempelvis vil
arbeid med forståelse av likhetstegnet være sentralt for at det skal bli
enklere å beherske formell algebra senere. Forskning viser at forståelsen av
likhetstegnet skaper hodebry for mange og fremkommer som en årsak til at algebra
er utfordrende.
Jeg
er også av den oppfatning at arbeid med aksiomene, eksempelvis den kommutative
lov, vil føre til at flere elever vil akseptere at 2b+a-b=a+b. Her viser
forskning at mange elever ikke vil akseptere bokstaver i sitt svar, og at
svaret må bestå av «enkle» tall.
I
tillegg vil lærer skape et klasserom som i stor grad preges av elevaktivitet.
Lærer presenterer opplegget, mens det er elevene som skal samarbeide om å
forstå og løse oppgavene de blir stilt ovenfor. Underveis i undervisningen skal
også læreren fokusere på de fem punktene i modellen til Stein et al. (2008). I
tillegg kan Chapin et al. (2009) sine grep for å samtale i matematikken være til
hjelp. Lykkes man med gjennomføringen av undervisningsopplegget vil gevinsten
potensielt sett være stor. For det første vil elevene være de mest aktive
aktørene. For det andre vil oppgavene og deres løsningsforslag kunne bidra til
økt forståelse omkring algebra som emne. For det tredje vil elevene få trening
i å samarbeide, resonnere og forklare deres egne og hverandres løsninger og
tanker. Det siste punktet bringer meg over til Skemp (1976) og hans skille
mellom instrumentell og relasjonell forståelse. Gjennomføres arbeidet godt vil
elevene kunne danne seg en dypere forståelse og ikke bare huske prosedyrene. De
vil oppnå relasjonell forståelse, som igjen vil bidra til å danne en sterk og
god grunnmur for elevene når de etter hvert skal jobbe med den formelle
algebraen.
Jeg
håper innlegget har inspirert deg, uansett om du er skoleleder, lærer, elev,
forelder, eller bare interessert i at elever skal lykkes med algebra i
fremtiden.
Litteratur
Bergem, O.K., Kaarstein,
H. og Nilsen, T. (2016). Vi kan lykkes i realfag. Resultater og analyser av
TIMSS 2015. Oslo: Universitetsforlaget.
Carraher, D., W. & Schliemann, A., D. (2009). Early algebra and algebraic reasoning. I Lester F., K. Second
Handbook of Teaching and learning. Information Age Publishing.
Chapin, S. H., O`Connor, C., & Anderson, N., C. (2009). Classroom discussions. Using math talk to help studens learn. Sausalito,
CA: Math Solutions
Grønmo, L.S. (2013).
Algebra og tall er motoren I matematikken – derfor går matematikkfaget I Norden
for halv fart. Bedre skole 1.
Kieran, C. (2010). Learning and teaching algebra at the middle
school through college levels. Building Meaning for Symbols and Their
Manipulation. I F.K. Lester (red.), Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and
Learning (s. 707-762). USA: Information Age Publishing
Skemp, R.R. (1976). Relational understanding and instrumental
understanding. Mathematics teaching
Stein, M.K., Engle, R.A., Smith, M.S., Huges, E.K. (2008). Orchestrating
Productive Mathematical Discussions: Five Practices for Helping Teachers Move
Beyond Show and Tell. Mathematical
Thinking and Learning. 2008, 313-340, DOI:
10.1080/10986060802229675
Utdanningsdirektoratet (2013). Læreplan
i matematikk fellesfag. (MAT1-04) Hentet fra: https://www.udir.no/kl06/MAT1-04/Hele/Kompetansemaal/kompetansemal-etter-7.-arssteget
Yackel, E., Cobb, P.
(1996) Sociomathematical
Norms, Argumentation, and Autonomy in Mathematics. Journal for Research in Mathematics Education
Kandidatnummer 11
Kandidatnummer 11
Kommentarer
Legg inn en kommentar