To matematikkverdener, ett klasserom. Av kandidat 3 & 10

I dette blogginnlegget ønsker jeg å vise hvordan undersøkende undervisning av generalisering i algebra kan fungere som brobygger mellom to former for matematisk kunnskap ved hjelp formativ vurdering, samtalegrep, fem praksiser og sosiomatematiske normer. Innholdets sammenheng er illustrert i figuren under.

Figur 1: Innholdets sammenheng (egenprodusert).

Matematisk forståelse og kunnskap

Richard R. Skemp (1976) bruker begrepsparet instrumentell og relasjonell for å beskrive et skille mellom former for matematisk forståelse, og legger ikke skjul på at han mener den relasjonelle forståelsen er den viktigste av de to.

Instrumentell forståelse forklarer Skemp (1976) som evnen til å følge regler og prosedyrer uten innsikt i hvorfor de fungerer. En fordel med å lære instrumentelt er at det går relativt raskt. Ulempen er at man gjerne glemmer det man har lært (Skemp,1976). Et eksempel er hentet fra praksis og handler om en elev som jeg her kaller Hanna. På en prøve skulle hun løse et divisjonsstykke, men husket ikke divisjonsalgoritmen og klarte ikke å løse oppgaven. Dette kan tyde på at Hanna har blitt undervist med et instrumentell fokus.

Relasjonell forståelse innebærer ifølge Skemp (1976) at man vet både hva man skal gjøre og hvorfor. Fordelen med å lære relasjonelt er at man gjerne husker det man har lært fordi man har forstått det. Ulempen er derimot at det tar lengre tid (Skemp, 1976). Dersom Hanna hadde blitt undervist med formål om slik forståelse ville hun trolig vært i stand til å rekonstruere divisjonsalgoritmen, eventuelt funnet en annen måte å løse oppgaven på.

James Hiebert & Patricia Lefevre (1986) bruker på sin side begrepene konseptuell og prosedural kunnskap for å beskrive det samme skille som Skemp (1976). Konseptuell kunnskap definerer de som en forståelse av sammenhenger i matematikk, og slik kunnskap inngår i et kunnskapsnettverk. For å oppnå konseptuell kunnskap krever det at man trekker linjer mellom eksisterende kunnskap og ny informasjon (Hiebert & Lefevre, 1986). Dersom Hanna eksempelvis hadde klart å trekke linjer mellom titallssystemet (eksisterende informasjon) og divisjonsalgoritmen (ny informasjon) hadde hun hatt konseptuell kunnskap om divisjon.

Prosedural kunnskap deler Hiebert & Lefevre (1986) inn i to; notasjon og algoritmer. Notasjon handler om å ha kunnskap om hvordan ulike symboler brukes til å uttrykke matematiske idéer, mens kunnskap om algoritmer innebærer innsikt i prosedyrer som brukes for å løse matematiske problemer. Hiebert & Lefevre (1986) hevder at en sammenkobling mellom konseptuell og prosedural kunnskap vil øke nytten av den prosedurale kunnskapen, og at begge er nødvendig for en fullverdig matematisk kompetanse. Dersom Hanna hadde hatt konseptuell kunnskap om divisjon ville hun kunne fremkalt prosedyren og faktisk fått brukt for den. Gjennom dette eksempelet virker Hiebert & Lefevre (1986) sin påstand om en sammenkobling mellom de to kunnskapsformene rimelig.

En likhet mellom Hiebert & Lefevre (1986) og Skemp (1976) sine begrepspar er at begge brukes til å snakke om matematisk kunnskap og læring. Dessuten er det en viss likhet mellom innholdet i begrepsparene. Instrumentell forståelse er relativt likt det Hiebert & Lefevre (1986) betegner som prosedural kunnskap, mens relasjonell forståelse er parallelt med konseptuell kunnskap. Likevel opplever jeg Skemps (1976) begrepspar som smalere enn Hiebert & Lefevre (1986) sine. Der relasjonell forståelse handler om å forstå hvorfor, handler konseptuell kunnskap i tillegg om å se sammenhenger mellom kunnskap. Slik fremstår relasjonell forståelse som en forståelse man kan ha i enkeltstående kontekster, mens konseptuell kunnskap er nettverksbasert. Instrumentell forståelse er ifølge Skemp (1976) kunnskap om hvordan man kan bruke prosedyrer og regler, mens Hiebert & Lefevre (1986) sin prosedurale kunnskap i tillegg innebærer kjennskap til matematisk notasjon. Skemp (1976) anser de to formene for forståelse som adskilt, hvor den ene er bedre enn den andre, i motsetning til Hiebert og Lefevre (1986) som mener de to kunnskapsformene er knyttet sammen og er ekvivalent nødvendig for en fullverdig matematisk kompetanse. Videre vil jeg benytte meg av begrepsparet til Hiebert & Lefevre (1986), da deres argumentasjon for at kunnskapene bør henge sammen fremstår rimelig gjennom eksempelet med Hanna. 

To matematikkverdener

Tradisjonelt har det i norske skoler vært stort fokus på å lære prosedyrer og ferdigheter gjennom instruksjon, etterfulgt av at elevene jobber med oppgaver i boka. Å vite hvorfor og se sammenhenger har fått mindre oppmerksomhet (Alseth, Breiteg & Brekke, 2003), slik som i eksempelet med Hanna.

De siste årene har en annerledes form for undervisning fått økende oppmerksomhet i europeiske land. Undervisningsmetoden går under navnet «inquiry based mathematics and science education», som i norsk sammenheng kan oversettes til undersøkende matematikk- og naturfagsundervisning. Denne måten å lære på kan relateres til John Deweys filosofi, som gjerne er kjent gjennom slagordet «learning by doing» (Artigue & Blomhøj, 2013). Videre er det ifølge Dewey (1929) nødvendig å reflektere over handlingene sine for å trekke lærdom av dem. Dette står sentralt i undersøkende undervisning.

I følge Morten Blomhøj (2016) er det naturlig å dele undersøkende undervisningsøkter i tre faser. Den første innebærer å gjøre elevene kjent med problemet, sørge for at de forstår oppgaven og avklare hvordan arbeidet skal organiseres. I den andre fasen arbeider elevene med å løse problemet, og læreren støtter og utfordrer dem gjennom dialog. Dessuten må læreren hjelpe elevene å etablere et samarbeid. I den tredje fasen avsluttes økten med refleksjon. Under refleksjonen bygger klassen opp en felles kunnskap ved å dele løsningene sine med hverandre. Kunnskapen knyttes deretter til tidligere kunnskap elevene har om temaet. I tillegg stilles nye spørsmål til videre undersøkelse (Blomhøj, 2016).

Ved å se Hiebert & Lefevre (1986) sine begrepspar for matematisk kunnskap i sammenheng de to ulike undervisningsformene finner jeg noen paralleller. Den tradisjonelle undervisningens kjerne fremstår som direkte relatert til prosedural kunnskap, da den tradisjonelle undervisningen innebærer aktiviteter som fokuserer på nettopp ferdigheter, prosedyrer og notasjon. Sett i lys av Alseth et al. (2003) sin påstand om at det i den tradisjonelle undervisningen er lite fokus på sammenhenger og det å forstå hvorfor, fremstår denne undervisningsformen dessuten isolert fra konseptuell kunnskap. Kjernen i undersøkelsesbasert undervisning er undersøkelse, refleksjon og å knytte eksisterende kunnskap til ny informasjon. Det å reflektere og knytte sammen eksisterende kunnskap med ny informasjon fremstår nettopp som nøkkelen til å oppnå konseptuell kunnskap. Slik mener jeg undersøkelsesbasert undervisning kan relateres til denne kunnskapsformen.

I lys av mine redegjørelser for matematisk kunnskap og undervisningsformer fremstår det som om det finnes to forskjellige matematikkverdener, hvor den tradisjonelle er overrepresentert i norske klasserom. Jeg tror det vil være nødvendig å etablere kultur for undersøkende undervisning, slik at elevene får tro på at de kan løse en oppgave uten gitte prosedyrer. Med følgende video forsøker jeg å vise forskjellen mellom de to undervisningsformene med deres tilknyttede matematiske kunnskaper.

Video 1: To matematikkverdener, ett klasserom (egenprodusert).

Formativ vurdering og undersøkende undervisning

Formativ vurdering defineres av William (2010) som en tilbakemelding som gis med hensikt å hjelpe eleven å forbedre egen prestasjon. Eksempelvis vil en tilbakemelding som «jobb hardere» ikke være formativ, da den ikke forteller eleven hvordan han skal kunne jobbe hardere. For å være formativ må tilbakemeldingen inneholde en slags «oppskrift» på hvordan eleven kan forbedre seg. Tilbakemeldinger må integreres med hva som gjøres i klasserommet for at de skal ha en læringseffekt (William, 2010). Det er i kraft av dette at tilbakemeldingen kan kalles formativ, slik jeg tolker det. Idéen er å ta utgangspunkt i elevenes læringsbehov for å utforme undervisningen. 

En nøkkelstrategi i forbindelse med effektiv formativ vurdering innebærer blant annet å legge til rette for klasseromsdiskusjoner. Forskning viser at for å maksimere prestasjon, er deltakelse i undervisningen viktig. Likevel viser videoforskning fra TIMMS at det er opp til elevene selv å delta eller ikke. Det finnes imidlertid flere grep læreren kan ta i bruk for å involvere alle elevene i klasseromsdiskusjoner. Dersom en elev f.eks. svarer «jeg vet ikke», kan læreren respondere med å samle svar fra andre elever og be den initiale eleven velge mellom disse. Eventuelt kan læreren bruke grep som «spør publikum», i betydningen å spørre resten av klassen. Slike strategier klargjør at deltakelse i klasseromsdiskusjoner ikke er valgfritt. Spørsmålene trenger heller ikke å komme kun fra læreren selv. Det finnes flere bevis for at det er gunstig for elevers læring at de utformer egne spørsmål. Et annet viktig aspekt ved klasseromsdiskusjoner er at læreren lytter godt til hva elevene har å si. Det er nødvendig at læreren lytter etter hvordan eleven tenker, og ikke om svaret er rett eller galt. Slik vil klasseromsdiskusjonen bli mer informasjonssøkende enn svarsøkende (William, 2010).

Både i forbindelse med formativ vurdering og undersøkende undervisning fremstår klasseromsdiskusjoner som sentrale. Slik ser jeg en gyllen mulighet for å kombinere disse to i undervisning.

Elevers læring i algebra og undersøkende undervisning

Figur 2: GTG-modellen (Kieran, 2010).

Raymond L. Lee (1997) har gjort en undersøkelse for å finne ut hva algebra er, og stilte spørsmålet til en gruppe matematikere, lærere, elever og matematikkdidaktiske forskere. Resultatet av undersøkelsen viste en klar overvekt av svaret «algebra er en aktivitet». Med utgangspunkt i dette lagde Carolyn Kieran (1996) en modell, kalt GTG-modellen, som deler aktivitetene i skolealgebra inn i tre typer; generational, transformational og global/meta-nivå (se figur 2).

Generational-aktiviteter i algebra dreier seg om å sette opp uttrykk og likninger. Transformational-aktiviteter innebærer eksempelvis faktorisering, legge sammen og multiplisere uttrykk og løse likninger og ulikheter. Global/meta-nivået omhandler aktiviteter som kan gjennomføres uten å bruke bokstavsymboler. Elevene jobber på dette nivået blant annet med å løse problemer, utforske mønster, modellere og bevise (Kieran, 2010). Dette nivået gir algebraen en kontekst og kan være en motivasjonsfaktor for videre arbeid på de to andre nivåene, ifølge Kieran (2010).

I lys av denne forskningen og sammenhengene mellom matematisk kunnskap og undervisningsformer argumentert for tidligere, har jeg forsøkt å illustrere en sammenheng i figur 3.

         





Figur 3: Sammenhengen mellom GTG-modell, undervisningstradisjoner og matematisk kunnskap (egenprodusert).

Det er hovedsakelig tre aktiviteter på global/meta-nivået som har blitt forsket på; generalisering, bevisføring og modellering. Jeg ønsker å se nærmere på den førstnevnte. Ifølge Mason (1996) viser en undersøkelse at det ofte tas utgangspunkt i geometriske figurer eller tallrekker når læreren skal undervise i generalisering. Deretter blir elevene bedt om å lage tabeller og bruke disse til å finne et algebraisk uttrykk for tallrekken eller figurene. Videre sjekker de formelen mot ett eller to eksempler. Flere forskere, for eksempel Moss (2005), hevder at fokus på tabellkunnskap kan hindre elevenes evne til å forstå mønster og representere dem algebraisk. Mason (1996) argumenterer for at elevene med utgangspunkt i undersøkende tilnærminger, eksempelvis visualisering og manipulering av figurer, senere vil mestre å utforme algebraiske formler.

For meg fremstår det som at undervisning i skolen foregår på transformational-nivået, at denne undervisningen er tradisjonell og fokuserer på prosedural kunnskap. På bakgrunn av Moss (1995) sin påstand om at et slikt fokus hindrer elevenes evne til å forstå mønster og representere dem algebraisk, samt Mason (1996) sitt forslag om undersøkende aktiviteter, tror jeg at generalisering i algebra innledningsvis bør undervises på global/meta-nivået, hvor undersøkende aktiviteter står sentralt. I forbindelse med dette fremstår det fornuftig å benytte Blomhøj (2016) sin modell for undersøkende undervisning.

Et eksempel på et undersøkende undervisningsopplegg i algebra

I det følgende ønsker jeg å eksemplifisere hvordan man kan undervise undersøkende i generalisering i algebra, samt foreslå grep læreren kan benytte seg av i den forbindelse.

Mål, algebraisk aktivitetsnivå og to matematikkverdener

Målet med undervisningen er at elevene skal lære å gjenkjenne mønster og beskrive mønstre med ord. Undervisningsopplegget er ment som en introduksjon til algebra. Gjennom undersøkende aktiviteter, samt at undervisningsopplegget omhandler generalisering, foregår undervisningen på global/meta-nivået. Introduksjonen har som hensikt å være brobygger mellom dette nivået og transformational- og generational-nivåene ved å introdusere algebra uten bruk av bokstavuttrykk. I likhet med Kieran (2010) tror jeg dette vil motivere elevene for arbeid på de to sistnevnte nivåene, og parallelt med Mason (1996) tror jeg undersøkende aktiviteter uten bruk av bokstavuttrykk vil føre til senere mestring av algebraiske formler. I lys av dette og gjennom sammenhengene illustrert i figur 3 tror jeg at undervisningsopplegget kan koble sammen konseptuell og prosedural kunnskap i generalisering i algebra. Således kan to matematikkverdener få plass i ett klasserom.

Oppgaver til undersøkelse og praktiske anliggender

Undervisningsopplegget er tiltenkt 8.trinn, da det gjerne er på dette klassetrinnet elevene introduseres for algebra. Jeg tror det vil være fornuftig at elevene jobber i grupper på 3 for å sikre at alle både må og får mulighet til å delta.

Til grunn for undervisningsopplegget ligger det at elevene har kjennskap til hva som ligger i begrepet “mønster”. Den algebraiske oppgaven er presentert i figur 4, og undervisningen vil være tredelt slik Blomhøj (2016) anbefaler. Jeg mener det vil være hensiktsmessig for læreren å levere ut én deloppgave om gangen, samt gjennomføre de tre fasene for undersøkende undervisning for hver av disse. Dette for å få størst mulig innsikt i elevenes tanker omkring hvert av spørsmålene, noe William (2010) fremhever som sentralt i forbindelse med klasseromsdiskusjoner. Totalt er det satt av 180 minutter til å arbeid med oppgavene, hvor totalt 25 minutter er tiltenkt den første fasen, 80 minutter til den andre fasen og 75 minutter til den siste fasen.

Figur 4: Oppgavene til undersøkelse (egenprodusert).

  

Lærerens rolle

Tredelingen av undersøkelsesbasert undervisning ser jeg i sammenheng med Margaret Smith & Mary Kay Stein (2011) sine “five practices”. Disse fem praksisene er utarbeidet med formål om å hjelpe lærere å styre matematiske diskusjoner i klasserommet. I undersøkende undervisning anser jeg diskusjon som en nødvendig del av elevenes arbeid, og disse fem praksisene kan fungere som konkrete rammer læreren kan ta i bruk for å styre diskusjonene i de undersøkende fasene. De fem praksisene er (1) anticipating, (2) monitoring, (3) selecting, (4) sequencing og (5) connecting (Smith & Stein, 2011). Praksis (1) anticipating knytter jeg til et forarbeid læreren bør gjøre før den første fasen av undersøkende undervisning. Læreren må prøve å forutse hvilke svar elevene kan komme med, hva som kan være vanskelig for elevene og hva han bør avklare i den første fasen. Forarbeidet sammen med den første fasen gjør at læreren vil være mer forberedt til å veilede elevene i den andre fasen. Slik jeg ser det er praksis (2), (3) og (4) alle knyttet til denne fasen. I den andre fasen overvåker (monitoring) læreren elevenes arbeid slik at han kan velge ut noen løsninger (selecting) som hele klassen kan dra nytte av i den avsluttende fasen. Dessuten må læreren ta stilling til hvilken rekkefølge (sequencing) disse løsningene skal presenteres i. Læreren kan f.eks. velge å presentere den hyppigst forekommende elevløsningen først, og deretter trekke frem noen mer uvanlige løsninger. I den tredje fasen skal det reflekteres over arbeidet og i denne forbindelse kan læreren ta i bruk praksis (5) connecting og knytte elevenes løsninger til matematiske idéer.

I forbindelse med den tredelte modellen for en undersøkende undervisningsøkt og de fem praksisene kan også læreren ta i bruk det Hintz & Kazemi (2014) kaller “talk moves” (samtalegrep). Dette er verktøy utarbeidet for å hjelpe lærere å lede og strukturere produktive matematiske diskusjoner. “Repeating” (gjenta) og “Turn-and-Talk” (snakk med sidemann) er to samtalegrep jeg mener kan være nyttig i den første fasen i undersøkende undervisning. Å gjenta kan f.eks. benyttes for å få elevene til å gjengi oppgaven med egne ord (Hintz & Kazemi, 2014). Slik er det lett å avdekke om de har forstått den. Snakk med sidemann kan brukes sammen med gjentakelse ved at man ber elevene gjengi oppgaven til hverandre og sammen komme fram til hva som eventuelt er uklart (Hintz & Kazemi, 2014). Jeg tror dessuten det vil være lettere for elevene å stille spørsmål i plenum når de er to om det. “Reasoning” (argumentere) og “Adding on” (legge til) er samtalegrep læreren kan bruke når han går rundt og overvåker (monitoring) samtalene til elevene. Argumentere betyr i denne sammenheng at elevene skal tenke over om de er enig i det som blir sagt eller ikke, samt grunngi hvorfor det eventuelt gir eller ikke gir mening (Hintz & Kazemi, 2014). Å legge til dreier seg om å åpne opp for at elevene kan tilføye noe til hverandres svar (Hintz & Kazemi, 2014). Gjennom å legge til og argumentere vil læreren få innsikt i elevenes svar og forklaringer, og dermed vil han ha et bedre grunnlag for å velge ut hvilke han ønsker at skal presenteres for klassen og hvilken rekkefølge de bør presenteres i. I forbindelse med den tredje fasen fremstår “revise” (revurdere), “revoicing” (formulere med egne ord) og “reasoning” (argumentere) som gode verktøy for å lede den matematiske samtalen. Å revurdere betyr at man åpner opp for at elevene kan endre svarene sine (Hintz & Kazemi, 2014), og det er sannsynlig at noen ønsker det etter de har fått innsikt i flere løsninger på problemet. Å formulere med egne ord handler om at elevene skal gjenta hverandres idéer slik de har forstått dem og komme til en felles forståelse (Hintz & Kazemi, 2014). Dette er et egnet samtalegrep for å få ryddet opp i eventuelle misforståelser og klarne opp i hva som egentlig blir sagt. En mulighet er også at læreren kan trekke frem ulike elevsvar også i den andre fasen, slik at elevene underveis kan bygge på hverandres idéer (Boaler, 2003).

Jeg tror det vil være en fordel at man som lærer snakker med elevene om disse samtalegrepene. Det er ikke bare læreren som kan benytte seg av dem for å lede og strukturere matematiske samtaler; elevene kan kanskje også lære seg å bruke dem selvstendig i samtalene etter hvert. Dette krever at læreren legger opp til at bruken av samtalegrep skal være det Cobb & Yackel (1996) kaller en sosiomatematisk norm. Dette  handler om hvilke normer man legger til grunn for de matematiske diskusjonene i klasserommet. En annen sosiomatematisk norm læreren kan legge grunnlag for er at ikke bare ett svar er riktig.

Dessuten anser jeg også grepene som William (2010) presenterer i sin forskning på formativ vurdering, f.eks. "spør publikum", samle svar fra andre elever og få elevene selv til å stille spørsmål, som en form for samtalegrep. Forskning viser at elevers læring fremmes ved deltakelse i klasseromsdiskusjoner (William, 2010), og samtalegrepene William (2010) presenterer fremstår som gode verktøy for å fremme slik deltakelse. Slik jeg ser det er hans samtalegrep mest passende for den tredje fasen.

Jeg har utarbeidet en tegneserie (figur 5) for å eksemplifisere hvordan samtalegrep og praksiser kan benyttes i forbindelse med deloppgave 4 fra undervisningsopplegget mitt, som vist i figur 4.

Figur 5: Et eksempel på en undersøkende undervisningsøkt ved bruk av noen samtalegrep og praksiser (egenprodusert).

Referanser

Alseth, B., Breiteg, T. & Brekke, G. (2003). Endringer og utvikling ved R97 som bakgrunn for videre planlegging og justering- matematikkfaget som kasus. Notodden: Telemarksforskning Notodden.

Artigue, M. & Blomhøj, M. (2013). Conceptualizing inquiry- based education in Mathemathics. ZDM- The International Journal on Mathematics Education, 45 (6), s. 797- 808. 10.1007/s11858-013-0506-6.

Blomhøj, M. (2016). Fagdidaktik i matematik. Fredriksberg: Frydenlund.

Cobb, P. & Yackel, E. (1996). Sociomathematical Norms, Argumentation and Autonomy in Mathematics. Journal for Research in Mathematics Education, 27(4), 458-477. 10.2307/749877

Dewey, J. (1929). The Quest for Certainty: a study for the relation of knowledge and action. New York: G.P. Putnam

Hiebert, J. & Lefevre, P. (1986). Conceptual and Procedural Knowledge in Mathematics: An

Introductory Analysis. I J. Hiebert (red.), Conceptual and Procedural Knowledge: The Case of Mathematics. Hillsdale, NJ, US: Lawrence Erlbaum Associates, Inc.

Hintz, A. & Kazemi, E. (2014). Intentional Talk- how to structure and lead productive mathematical discussions. Portland, Main: Stenhouse Publishers.

Kieran, C. (2010). Learning and teaching algebra at the middle school through college levels. Building Meaning for Symbols and Their Manipulation. I F.K. Lester (red.), Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (s. 707-762). USA: Information Age Publishing.

Boaler, J. (2003). Studying and capturing the complexity of practice: The case of the dance of agency. I N.A. Pateman, B.J. Dougherty & J.T. Zillox (red.), Proceedings of the 27^th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, 1, s. 3-16. USA: Honolulu, Hawaii

Kieran, C. (1996). The changing face of school algebra. I C. Alsina, J. Alvarez, B. Hodgson, C. Laborde & A. Pérez (red.), Eighth International Congress on Mathematical Education: Selected lectures, s. 217-290. Spania: S.A.E.M. Thales

Lee, L. (1997). Algebraic understanding: The search for a model in the mathematics education community. Unpublished doctoral dissertation, Université du Québec à Montréal.

Mason, J. (1996). Expressing generality and roots of algebra. In N. Bednarz, C. Kieran & L. Lee (red.), Approaches to algebra: Perspectives for research and teaching, s. 65-86. Nederland: Kluwer.

Moss, J. (2005). Integrating numeric and geometric patterns: A developmental approach to young students’ learning of patterns and functions. Artikkel ble presentert på et årlig møte for Canadian Mathematics Education Study Group, Ottawa.

Skemp, R. R. (1976). Relational Understanding and Instrumental Understanding. Mathematics Teaching in the Middle School, 12 (2), s. 89-95.

Stein, M.K. & Smith, M. (2011). 5 Practices for Orchestrating Productive Mathematics Discussions. Reston: National Council of Teachers of Mathematics.

William, D. (2010). Keeping learning on track. Classroom Assessment and the Regulation of Learning. I F.K. Lester (red.), Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (s. 1053- 1098). USA: Information Age Publishing.