Likhetstegnet - "Regn ut" eller "Likevekt?

Av kandidatnummer 6. 

Likhetstegnet - "Regn ut" eller "Likevekt"?

I dette blogginnlegget ønsker jeg å gi mer kjennskap omkring et tema jeg mener fortjener mer oppmerksomhet også utenfor matematikkens forskningsfelt. Alle har erfaringer fra egen skolegang og mange har nok også inntrykk av hvordan matematikkundervisning foregår. For mange består inntrykket av matematikkundervisningen av læreren som presenterer noe på tavla, og elevene som arbeider med dette i ei oppgavebok. På slutten av hvert tema testes kunnskapen i form av en matteprøve. Noen lærer nok av dette, mens for andre kan det kvele motivasjonen man har for å tilegne seg kunnskap og ferdigheter i faget.

Det finnes mange teorier om hvordan man lærer best og hvordan læreren skal bidra til det. I dette innlegget skal jeg presentere et undervisningopplegg i algebra, basert på forskning, som skal kunne legge til rette for engasjerte og motiverte elever. 

Pugging = Forståelse?

Bilde 1 (TED Conferences, LLC)

For noen består minnene fra matematikkundervisningen av regler som måtte pugges til man kunne de på rams. At arealet av et rektangel er lengden · bredden vil for mange være som brent inn i hukommelsen. 

Richard R. Skemp (1976), en pioner innenfor matematikken, vil hevde at en slik forståelse, der man kan bruke regler men ikke nødvendigvis forstår hvorfor de er slik, er instrumentell. I mange klasserom har undervisningen i stor grad dreid seg om å pugge regler man trenger for å kunne løse oppgavene på matteprøven. Mange har nok fått gode resultater. Selv vil man antakeligvis også hevde at man har forstått det som har blitt presentert. Men, holder det at man vet hvordan man kommer frem til et svar? I følge Skemp (1976) vil det nødvendigvis ikke være nok. En relasjonell forståelse innenfor matematikken dreier seg også om å forstå hvorfor dette vil være en riktig fremgangsmåte. Har man en relasjonell forståelse vil kunnskapen kunne overføres til nye og ukjente problemer man står ovenfor. I utgangspunktet vil dette si at man ikke vil ha behov for å kunne regler på rams for å løse et problem.

Hvorfor foregår da mye av undervisningen instrumentelt, tenker du kanskje da. Vel, fordelen med instrumentell undervisning, er at det er enklere for læreren å gi elevene en instrumentell forståelse, kontra en relasjonell, i alle fall før en relasjonell arbeidsmetode er innført i klasserommet. I en instrumentell undervisning vil fremgangsmåten og reglene ligge klar, og også produsere det riktige svaret som står i fasiten bakerst i matematikkboka. Er det alltid det ene riktige svaret læreren etterspør, vil også dette være det som er viktig for elevene. Kan og bør læreren etterspørre noe mer?

Læreren som tryllekunstner

Kunsten å undervise er et stort og komplekst fagfelt i seg selv. En god matematikklærer for en elev, er kanskje ikke en annen elevs drømmelærer. Likevel finnes det mye forskning på hvordan man mestrer kunsten å undervise. Læreren må legge til rette for at alle kan lære. For å kunne gi elevene en relasjonell forståelse vil det også være viktig at læreren legger til rette for gode sosiomatematiske normer i klasserommet som fremmer dette. 

Bilde 2: Matematikklæreren som tryllekunstner (Abcteach)

Sosiomatematiske og sosiale normer, beskriver, ifølge Yackel og Cobb (1996), de samme mønstrene i sosiale interaksjoner. Sosiomatematiske normer er særegent i den forstand at det som er normativt i klasserommet er styrt av tro og antakelser som deltakerne, både elever og lærer, sitter med. Disse normene er uuttalte forståelser som også er påvirket av hva som er akseptert matematisk aktivitet. Et eksempel kan være et klasserom hvor læreren legger til rette for en relasjonell forståelse. Her vil ikke læreren godta kun det riktige svaret i seg selv, men vil etterspørre hva elevene har tenkt for å komme frem til svaret. Prosessen vil være vel så viktig som resultatet, om ikke viktigere, og elevene vet at dette er forventet av dem. En lærer som oppmuntrer til at det riktige svaret bakerst i fasiten er godt nok, vil også oppmuntre elevene sine til å putte inn tall i en innøvd fremgangsmåte. Dette vil, som nevnt, kunne føre til en instrumentell forståelse. Krever læreren imidlertid at elevene skal kunne forklare fremgangsmåten og hvordan de har tenkt, vil elevene selv kunne utvikle løsningsmetoder som vil være overførbare. Dette gir motivasjon og mestring for mange barn.

En felles samtale i klassen, hvor elevene forklarer sine fremgangsmåter og stiller spørsmål er et godt verktøy for læreren. Kazemi og Hintz (2014) har skrevet om hvordan læreren kan få frem og gripe tak i dette. I dette blogginnlegget vil jeg kort gi innblikk i to av disse; åpen strategisk deling og spørsmålet «hvorfor?».  Matematikkoppgaver har ofte flere løsninger og løsningsmetoder. I en åpen strategisk deling, lytter og bidrar elevene med løsninger. Lærerens oppgave vil være å få frem hvordan elevene har tenkt og hvorfor de har tenkt på denne måten. Et viktig moment vil være at læreren inviterer elevene med, ved å spørre om hvem som har løst oppgaven annerledes. Flest mulig måter å løse oppgavene på skal fremmes slik at elevene får et stort repertoar av metoder. Klassens sosiomatematiske normer vil spille en stor rolle for hvilken retning en slik samtale tar. Kazemi og Hintz har gitt flere eksempler, blant annet at matematikken som presenteres skal gi matematisk mening, det er greit å gjøre feil og å ikke forstå og man skal dele egne ideer og lytte til andres. Åpen strategisk deling legger også til rette for en relasjonell forståelse, da elevenes prosess frem til et svar vektlegges. Kazemi og Hintz (2014) beskriver også viktigheten av at elevene alltid stiller seg selv spørsmålet «hvorfor?». Å komme med forklaringer er en viktig del av å forstå matematikk. Elevene bør alltid stille seg selv spørsmålet om det de holder på med gir mening, og hvorfor det gjør det. En lærer som alltid stiller spørsmål om hvordan og hvorfor, vil oppmuntre elevene slik at det blir naturlig å reflektere rundt det de gjør. 

Hvordan lærer elever algebra?

I dette undervisningsopplegget er målet at elevene skal få en relasjonell forståelse for likhetstegnet. Algebra er for mange elever vanskelig, men en riktig forståelse av begreper og tegn i matematikken kan gjøre det mer begripelig. Undervisning som legger vekt på en tidlig innføring av algebraisk tenking, uten å nødvendigvis introdusere formell algebra støttes av forskning. Dette undervisningsopplegget vil derfor passe godt på mellomtrinnet, og vil være et godt grunnlag blant annet for at transformasjoner i ligningsløsning blir meningsfullt i arbeidet med formell algebra.

Early Algebra (Carraher & Schliemann, 2007) handler om å nettopp introdusere elevene for algebraisk tenking før man begynner med formell algebra. Det tar sikte på å lette overgangen fra aritmetikk til algebra. De vanligste aritmetiske operasjonene er addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon, som vil være naturlig at elevene har arbeidet mye med tidligere. Forskere innen Early Algebra prøver å utvide og redefinere bruken av og betydningen for matematiske symboler som +, -, ·, ÷ og =, slik de anvendes innen algebraiske ligninger og uttrykk. Begrunnelser for dette er at en slik gjennomgang kan føre til at vanskeligheter elevene ofte viser reduseres. Disse forskjellene kan knyttes til de underliggende forskjellene mellom aritmetikk og algebra.

I følge Kieran (2007) kan aktiviteten i skolealgebra fremstilles i tre typer. Dette gjør han i GTG-modellen. Den siste G’en står for Global/Meta-Level, hvor man kan kjenne igjen tanker fra relasjonell tilnærming. Innenfor Global/Meta-Level finner vi aktiviteter algebra bruker som verktøy, hvor målene er å forstå kontekst og hensikt, samt gi motivasjon for den formelle algebraen man finner i de to andre delene av GTG-modellen. Aktivitetene kan omfatte problemløsing, modellering og å lete etter relasjoner eller strukturer, og kan på denne måten legge til rette for en relasjonell forståelse. Aktivitetene gir mulighet til å engasjere seg i matematisk aktivitet generelt, spesielt algebraisk, uten å måtte brukte for eksempel symboler. Det legges til rette for å arbeide med algebraiske objekter og prosesser, noe også dette undervisningsopplegget bygger på. 

Relasjonell forståelse av likhetstegnet

Knuth, Stephens, McNeil & Alibali (2006) definerer at elever som har en relasjonell forståelse for likhetstegnet forstår tegnet med betydningen «det samme som». Et instrumentelt syn på likhetstegnet vil være forståelsen «regn ut» eller «svaret». De har kommet frem til at elever uten noen erfaring med formell algebra, spesielt 6. og 7. klassinger, har en bedre forståelse for hvordan man kan løse ligninger dersom de har en relasjonell forståelse for likhetstegnet. Et slående resultat som også presenteres i forskningsartikkelen er at elever som forstår likhetstegnet relasjonelt, som et tegn på likevekt, løser ligninger bedre enn sine enn sine jevnaldrende uten denne forståelsen. Baroondy og Ginsburg (1983) skriver at barn er vant til å få fremstilt symbolet «=» på formen «1+1=?» og mener derfor barna har med seg fra aritmetikken å se på tegnet som en operator. De legger frem at likhetstegnet må forstås som at begge sider av tegnet har den samme verdien. 

Et undervisningsopplegg med formål om en relasjonell forståelse av likhetstegnet..

Undervisningsopplegget legges på mellomtrinnet, gjerne 5. og 6. trinn. Metodene som skal benyttes er pararbeid og matematisk diskusjon rundt oppgavene. Læreren starter undervisningsøkta med en åpen strategisk deling. Her har lærer som mål å få tak i hvilke tanker elevene har om hva likhetstegnet betyr, og også hvilke misoppfatninger eller vanskeligheter de sitter inne med. Opplegget skal bidra til at problemene elever har en tendens til å vise i overgangen fra aritmetikk til formell algebra, reduseres, gjennom å skape en relasjonell og redefinert forståelse for likhetstegnet. Målet for den åpne strategiske delingen bør derfor være å komme frem til en felles forståelse for at likhetstegnet betyr «det samme som» eller «like mye på hver side». Elevene får gjennom økta mulighet til å utforske dette.

Elevene tenker forskjellig, og det vil i flere av undervisningsoppleggets fem oppgaver finnes flere svar, noe læreren bør få frem for elevene. Oppgavene løses i par, og læreren beveger seg rundt i klasserommet for å observere, dersom behov veilede, elevene. Etter hver oppgave diskuteres det i nye åpne strategiske delinger. Hva likevekt er, hvorfor det i noen tilfeller kan være flere muligheter å skape likevekt, og nye og redefinerte forståelser av likhetstegnet bør tas opp i samtalene. Spørsmål fra elevene er viktig. Ettersom elevene underveis deler sine tanker, har man mulighet til å rette opp i misoppfatninger før neste oppgave.

De sosiomatematiske normene i klasserommet må være klar og tilpasset en relasjonell forståelse, slik at elevene vet at det er den matematiske forklaringen om hvordan og hvorfor som er viktig. Forklaringene er en viktig del av å forstå matematikk. Refleksjoner, deling av ideer og lytting til andres blir derfor viktig. 

Oppgavene

I oppgave 1 skal elevene fylle inn tall i rutene som mangler. Oppgaven gir utfordringer da det både er sum og ledd som mangler. Fremstillingen på formen «1+1=2» er elevene vant med, men utfordrer likevel tanken om likevekt.

Oppgave 2 består også av å fylle inn tall i rutene som mangler. Her har oppgavene flere ledd. Det vil være interessant om elevene tolker likhetstegnet som en befaling om å regne ut det som står foran likhetstegnet, i ruta som kommer bak. Blir likhetstegnet forstått som «regn ut» eller «likevekt»?

Oppgave 3 ligner på oppgave 1, men her kreves en dypere forståelse. Oppgavene er en blanding av addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon. Dessuten skal ikke elevene regne ut et «ferdig svar», men fylle inn det som mangler for at det skal bli likevekt. 

I oppgave 4 kreves det en forståelse av likhetstegnet som likevekt for å kunne begrunne svarene sine. Plassverdien har også betydning. 

Elevene skal selv lage likevekt i oppgave 5, hvor likhetstegnet konkretiseres av en likevekt. Gjennom utforsking vil de se at det finnes mange måter å skape likevekt. Elevene blir også utfordret til å selv skrive en av løsningene som en likhet. 

Avsluttende ord

Avslutningsvis ønsker jeg å forutse en fremtidig endring for noen av mine innledende ord.. 

«For mange består inntrykket av matematikkundervisningen av en lærer som tilrettelegger en undervisning hvor elevene får utforske, stille spørsmål, diskutere og lære om alle sidene av matematikkens strukturer og mønster». 

Læreren trenger ikke magiske evner, bare god undervisningskunnskap. 

Referanser:

Baroody, A. J., & Ginsburg, H. P. (1983). The effects of instruction on children's understanding of the" equals" sign. The Elementary School Journal, 199-212

Carrahan & Schliemann (2007) Early alegbra and algebraic reasoning. I Lester, F. K. Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. Information Age Publishing, pp. 669-705

Hintz, A. & Kazemi, E (2014) Intentional talk – how to structure and lead productive mathematical discussions. Stenhouse Publishers

Kieran, C. (2007). Learning and teaching algebra at the middle school through college levels. I Lester F., K. Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. Information Age Publishing, pp. 707-762

Knuth, E. J., Stephens, A. C., McNeil, N. M., & Alibali, M. W. (2006). Does understanding the equal sign matter? Evidence from solving equations. Journal for Research in Mathematics Education, 37, 297-312.

Skemp, R. R. (1976). Relational understanding and instrumental understanding: Mathematics teaching. Warwickshire: University of Warwick.

Yackel, E., & Cobb, P. (1996). Sociomathematical Norms, Argumentation, and Autonomy in Mathematics. Journal for Research in Mathematics Education.

Bildereferanser:

Bilde 1: TED Conferences, LLC. Hentet fra: https://www.ted.com/playlists/251/talks_for_people_who_hated_mat

Bilde 2: Abcteach. Hentet fra: https://www.abcteach.com/documents/clip-art-math-wizard-color-2-i-abcteachcom-29253